考虑yOz平面上的圆周C:(y-a)^2+z^2=b^2,其中a>b>0改曲线绕z轴一周形成环面.求曲面方程解 z=b\sin u,x=r\cos v=(a+b\cos u)\cos v,y=r\sin v=(a+b\cos u)\sin v

设X和Y都是MP广义逆(1)X=XAX\to col(X)\subseteq col(XA)又col(XA)\subset col(X)\to col(X)=col(XA) \to row(XA)\subseteq row(A)(2)A+AYA\to A(I-YA)=0

曲线\Gamma:r(t)=(x(t),y(t),z(t))切向量r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))过P_0且垂直于r'(t_0)的平面称为\Gamma在P_0的法平面x'(t_{0})(x-x_0)+y'(t_{0})(y-y_0)+z'(t_{0})(z-z_0)=0曲线\Gamma是两个曲面的交线，方程为F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0(*)设(*)在点p_0(x_0,y_0,z_0)满足隐函数组定理的条件，其中，J(P_0)=\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}|_{P_0}\neq0则(*)在P_0附近唯一确定隐函数组x=x(z),y=y(z)，且

F(x)=\sum_{i}f_ix^i第一个定义式\varepsilon(F(x))=\prod_{i}\frac{1}{(1-x^i)^{f_i}}Euler变换的组合意义：无标号的n个球，分成若干非空组，大小为i的组内部具有f_i中方案数，为最后的总方案数（如果两个组大小和内部方案相同，则他们不可区分）注：\frac{1}{1-x^i}在枚举有几个大小为i的组，f_i是大小为i的内部的方案数第二种定义式

设 A_1B_1=2a,b_1G=x=QO,QP=DG=y,则 OP=a,x^2+a^2=y^2,DA_1=\sqrt{3}aS_{A_1B_1C_1D_1E_1F_1}=6\sqrt{3}a^2,S_{A_1B_1G}=ax,S_{A_qGC_1Q}=2\sqrt{3}ay问题归纳为，求，面积减少的最大值

P5900 无标号无根树计数 无根树计数比较困难，我们考虑f_i表示i个点的有根树的个数F(x)=\sum_{i=1}f_ix^i那么，根据Euler变换F(x)=x\varepsilon(F(x))

f(i)表示钦定其中i种颜色恰好S个 g(i)表示恰好i个颜色恰好S个 h(n)=m^n表示n个点的染色总方案数

A=PSQ^{T}其中P,Q是m阶与n阶正交矩阵，