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工科数学分析-4.2

2026-04-02

数学

Ex.1 环面的参数方程：#

考虑 $yOz$ 平面上的圆周 $C:(y-a)^2+z^2=b^2$ ,其中 $a>b>0$
改曲线绕 $z$ 轴一周形成环面.求曲面方程
解 $z=b\sin u,x=r\cos v=(a+b\cos u)\cos v,y=r\sin v=(a+b\cos u)\sin v$

Ex.2 莫比乌斯带#

矩形的一组对边反向粘合
是两个旋转的结合，一个转速是另一个的两倍
$AB=2l,AA'=2\pi a,a>l$
开始的时候细杆占据的位置 $\{(a,0,u)|l\ge|u|\}$
细杆中点 $C$ 沿 $xOy$ 平面上的圆周 $x^2+y^2=a^2$ 逆时针旋转
细杆 $C$ 自转，使 $L$ 与 $z$ 轴所在的平面与 $xOy$ 平面垂直，且当 $C$ 转 $\theta$ 角时，细杆绕 $C$ 转 $\frac{\theta}{2}$ 角
$z=ucos\frac{\theta}{2}$
$x=OP'\cos\theta=(a+u\sin\frac{\theta}{2})\cos\theta$
$x=OP'\sin\theta=(a+u\sin\frac{\theta}{2})\sin\theta$

5.7 空间曲线的曲率与挠率#

5.7.1 $Frenet$ 标架#

设空间曲线 $\Gamma$ 的自然参数方程为 $r=r(s)$
一般的参数方程 $r=r(t)$
求导：
$\frac{dr}{ds}=r',\frac{d^2r}{ds^2}=r'',\frac{dr}{dt}=\dot{r},\frac{d^2r}{dt^2}=\ddot{r}$

1.切线与法平面#

与曲线 $\Gamma:r=r(s)$ 正向一致的单位切向量
$T(s)=r'(s)$
$dr=(dx,dy,dz),(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2=\|dr\|^2$
$\|\frac{dr}{ds}\|=1$
于是 $\Gamma$ 在点 $r(S_0)$ 的切线方程为 $\rho=r(S_0)=\lambda r'(S_0)$
法平面方程
$(\rho-r(S_0))r'(S_0)=0$

2.主法线与次法线#

因为 $\|r'(S)\|^2=r'(S)\cdot r'(S)$
对 $S$ 求导
$0=2r'(S)r''(S)$
说明
$r'(S)\perp r''(S),r'(S)\times r''(S)\neq0$
称
$N(S_0)=\frac{r''(S_0)}{\|r''(S_0)\|}$
为曲线 $\Gamma$ 的主法向量，对应的法线称为主法线.
称
$B(S_0)=T(S_0)\times N(S_0)$
为曲线 $\Gamma$ 在点 $r(S_0)$ 的次法向量，对应的法线称为次法线.
$B(S)$ 与 $N(S)$ 张成法平面

3.密切平面#

过曲线 $\Gamma$ 上的一点 $r(S_0)$ 的平面有无穷多个，哪一个与 $\Gamma$ 最贴近？
当 $\Gamma$ 是一个空间曲线时，考虑 $r(S_0)$ 临近的点， $r(S_0+\Delta S)$ 到平面的距离，设 $\Sigma$ 是过点 $r(S_0)$ 平面的单位法向量
则 $r(S_0+\Delta S)$ 到平面 $\Sigma$ 的距离
$d=\lambda=n\cdot (r(S_0+\Delta S)-r(S_0))$
$r(S_0+\Delta S)-r(S_0)=\lambda n+n^{\perp}$
由 $Taylor$ 公式
$r(S_0+\Delta S)-r(S_0)=r'(S_0)\Delta S+\frac{1}{2}r''(S_0)(\Delta S)^2+o((\Delta S)^2)$
于是
$d=n\cdot(r'(S_0)\Delta S+\frac{1}{2}r''(S_0)(\Delta S)^2+o((\Delta S)^2))$

$(1)$ 若 $\Sigma$ 不含切线，则 $n\cdot r'(S_0)\neq0$ ，此时 $r(S_0+\Delta S) \approx r(S_0)$
偏差 $d$ 是一阶无穷小
$(2)$ 若 $\Sigma$ 含切线但不含主法线，则
$n\cdot r'(S_0)=0,n\cdot r''(S_0)\neq0$
偏差 $d$ 是二阶无穷小
$(3)$ 若 $\Sigma$ 含切线与主法线，则
$n\cdot r'(S_0)=0,n\cdot r''(S_0)=0$
偏差 $d=o((\Delta)^2),r(S_0+\Delta)\approx r(S_0)$ 是最佳逼近
因此，含曲线 $\Gamma$ 在点 $r(S_0)$ 处的切线和主法线的平面称为密切平面，方程为
$B(S_0)\cdot (\rho-r(S_0))=0$
注：密切平面是平面到曲线上的点的距离为三阶无穷小的平面

4.从切平面#

切向量 $T(S_0)$ 与次法向量 $B(S_0)$ 确定的平面为从切平面
三个单位向量 $T,N,B$ 互相正交，它们构成以 $r(S_0)$ 为原点的右手直角坐标系，称为 $Frenet$ 标架
若 $\Gamma$ 的方程由一般的参数方程 $r=r(t)$ 给出
当 $\dot{r}(t_0)\neq0,\ddot{r}(t_0)\neq0$ 时，单位切向量，主法向量，次法向量分别为
$T(t_0)=\frac{\dot{r}(t_0)}{\|\dot{r}(t_0)\|},N(t_0)=\frac{\ddot{r}(t_0)}{\|\ddot{r}(t_0)\|},B(t_0)=T(t_0)\times N(t_0)=\frac{\dot{r}(t_0)\times\ddot{r}(t_0)}{\|\dot{r}(t_0)\times\ddot{r}(t_0)\|}$

例 7.1#

求曲线 $r=(a\cos t,a\sin t,kt)$ 的 $Frenet$ 标架，密切平面，从切平面的方程
解：
$\dot{r}(t_0)=(-a\sin t,a\cos t,k)$
$\ddot{r}(t_0)=(-a\cos t,-a\sin t,0)$
$\dot{r}(t_0)\times\ddot{r}(t_0)=(ak\sin t,-ak\cos t,a^2)$
$\|\dot{r}\|=\sqrt{a^2+k^2},\|\ddot{r}\|=a,\|\dot{r}\times\ddot{r}\|=a\sqrt{a^2+k^2}$
于是
$T=\frac{1}{\sqrt{a^2+k^2}}(-a\sin t,a\cos t,k)$
$N=(-\sin t,\cos t,0)$
$T=\frac{1}{\sqrt{a^2+k^2}}(-\sin t,\cos t,a)$
密切平面的方程为 $B(t)\cdot(\rho-r(t)=0)$ ，即
$k\sin t(x-a\cos t)-k\cos t(y-a\sin t)+a(z-kt)=0$
$(k\sin t)x-(k\cos t)y+az=akt$
从切平面方程为 $N(t)\cdot (\rho-r(t))=0$
$\cos t(x-a\cos t)+\sin t(y-a\sin t)=0$
$x\cos t+y\sin t=a$

5.7.2 曲率#

1.定义与计算#

从 $S_0$ 到 $S_0+\Delta S$ 的弧段的平均弯曲程度，称为平均曲率，记为 $\overline{\kappa}=|\frac{\Delta \theta}{\Delta S}|$

定义 7.1#

假设空间光滑的曲线 $\Gamma$ 的方程为 $r=r(s),(\alpha\le S\le\beta)$
切向量 $r'(S),r'(S+\Delta S)$ 的夹角为 $\Delta \theta$ 若极限 $\kappa=\lim_{\Delta S\to 0}|\frac{\Delta \theta}{\Delta S}|$ 存在
则称之为 $\Gamma$ 在点 $r(S)$ 的曲率
记 $\Delta T=r'(S+\Delta S)-r'(S)$
因为
$|\frac{\Delta \theta}{\Delta S}|=\frac{\Delta\theta}{\|\Delta T\|}\frac{\|\Delta T\|}{\Delta S}=\|\frac{\Delta T}{\Delta S}\|(\|\frac{\Delta T}{\Delta\theta}\|)^{-1}$
所以
$\kappa=\lim_{\Delta S\to0}\|\frac{\Delta T}{\Delta S}\|(\|\frac{\Delta T}{\Delta\theta}\|)^{-1}$
又因为

\begin{align} \|\Delta T\|^2&=\|r'(S+\Delta S)-r'(S)\|^2\\ &=2-2\cos \Delta\theta\\ &=4\sin^2\frac{\Delta \theta}{2} \end{align}

所以
$\|\frac{\Delta T}{\Delta \theta}\|^2=\frac{4\sin^2\frac{\Delta \theta}{2}}{(\Delta \theta)^2}=1$
因此
$\kappa=\lim_{\Delta S\to0}\|\frac{\Delta T}{\Delta S}\|=\|\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\Delta T}{\Delta S}\|=\|\lim_{\Delta S\to0}\frac{r'(S+\Delta S)-r'(S)}{\Delta S}\|=\|r''(S)\|=\|T'(S)\|$

推论#

设空间曲线 $\Gamma$ 由一般参数方程 $r=r(t)$ 给出， $r(t)$ 二阶可导且 $\dot{r}(t)\neq0$ ，则 $\Gamma$ 在 $r(t)$ 的曲率为

证明:
$r'(s)=\frac{dr}{ds}=\frac{dr}{dt}\frac{dt}{ds},r'(s)=\dot{r}(t)\frac{dt}{ds}$
$r''(s)=\frac{d^2r}{ds^2}=\frac{d^2r}{dt^2}(\frac{dt}{ds})^2+\frac{dr}{dt}\frac{d^2t}{ds^2}$
因为 $\|r'(s)\|=1$ ，所以
$1=\|\dot{r}\||\frac{dt}{ds}|,r'(s)\cdot r''(s)=0$
由向量积的定义
$\|r'(s)\times r''(s)\|=\|r'(s)\|\|r''(s)\|\sin(\langle r'(s),r''(s)\rangle)=\|r''(s)\|$
于是

\begin{align} \kappa(t)&=\|r''(s)\|=\|r'(s)\times r''(S)\|\\ &=\|r'(t)\times (\ddot{r}(t)(\frac{dt}{ds})^2+r'(s)\times \dot{r}(t)\frac{d^2t}{ds^2})\|\\ &=\|\dot{d}(t)\frac{dt}{ds}\times \ddot{r}(t)(\frac{dt}{ds})^2\|\\ &=\|\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)\||\frac{dt}{ds}|^3\\ &=\frac{\|\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)\|}{\|\dot{r}(t)\|^3} \end{align}

对平面曲线 $r=(x(t),y(t),0)$
$\dot{r}=(\dot{x},\dot{y},0)$
$\ddot{r}=(\ddot{x},\ddot{y},0)$
$\dot{r}\times \ddot{r}=(\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y},0,0)$
$\kappa=\frac{|\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}|}{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$
对 $r=(x,y(x),0)$
$\kappa=\frac{|y''(x)|}{(1+y'(x)^2)^{\frac{3}{2}}}$

例 7.2#

证明：曲线 $L$ 为直线 $\Leftrightarrow$ 它的曲率处处为零
proof
$\kappa=\|r''(s)\|=0\Leftrightarrow r''(s)=0\Leftrightarrow r'(s)=r_0,\Leftrightarrow r(s)-r(s_0)=(s-s_0)r_0$

例 7.3#

求半径为 $R$ 的圆的曲率
$\Delta S=R\Delta \theta$
$\kappa=\lim_{\Delta S\to 0}|\frac{\Delta \theta}{\Delta S}|\frac{1}{R}$

例 7.4#

求 $r=(a\cos t,a\sin t,kt)$ 的曲率
$\kappa(t)=\frac{\|\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)\|}{\|\dot{r}(t)\|^3}=\frac{a\sqrt{a^2+k^2}}{(\sqrt{a^2+k^2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{a}{a^2+k^2}$

2.曲率半径与曲率圆#

设 $\Gamma$ 为平面曲线，过点 $P_0\in \Gamma$ 在凹向侧的法线，取点 $Q$ ,使 $|PQ|=\frac{1}{\kappa}$ ,以 $Q$ 为圆心， $|PQ|$ 为半径的圆称为 $\Gamma$ 在点 $P$ 的曲率圆
若 $\Gamma$ 为空间曲线，则在点 $P$ 与 $\Gamma$ 最贴近的平面是密切平面，记为 $\Pi$
在主法线上取点 $Q$ ，使 $\vec{PQ}$ 与 $N$ 同向，且 $\|PQ\|=\frac{1}{\kappa}$ ，以 $Q$ 为圆心， $\frac{1}{\kappa}$ 为半径的圆，
称为 $\Gamma$ 在 $P$ 的曲率圆或密切圆
若以弧长为参数，则曲率中心的向径 $r_Q$ 与曲率半径 $R$ ，分别为
$r_Q-r_P=R(s)N(s),R=\frac{1}{\kappa}$