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工科数学分析-第六章

2026-06-12

工数分

数学

/

数学分析

第六章多元函数积分学及其应用#

第一节多元数量值函数积分的概念与性质#

一、核心概念与统一数学定义#

1. 多元数量值函数积分的统一思想#

多元积分的建立均采用“分（分割）、匀（近似）、合（求和）、精（取极限）”的步骤。它不考虑方向性（即与方向无关），称为第一类多元积分。

2. 统一数学定义（定义 1.1）#

设 $(\Omega)$ 是一个有界的、可度量的（可求长/宽/高/面积/体积等）几何形体， $f(M)$ 是定义在 $(\Omega)$ 上的有界数量值函数。

分：将 $(\Omega)$ 任意划分为 $n$ 个小部分 $(\Delta \Omega_k)$ ，其度量记为 $\Delta \Omega_k$ 。
匀：在每个 $(\Delta \Omega_k)$ 上任取一点 $M_k$ ，作乘积 $f(M_k) \Delta \Omega_k$ 。
合：作和式 $\sum_{k=1}^n f(M_k) \Delta \Omega_k$ 。
精：设 $d$ 为这 $n$ 个子域直径的最大值。若当 $d \to 0$ 时，该和式的极限存在，且与分割方式及点 $M_k$ 的取法无关，则称 $f(M)$ 在 $(\Omega)$ 上可积，其极限值称为 $f(M)$ 在 $(\Omega)$ 上的多元数量值积分，记作：

$\int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega = \lim_{d \to 0} \sum_{k=1}^n f(M_k) \Delta \Omega_k$

二、五大积分形式对照表#

根据积分域 $(\Omega)$ 的维度和几何特征不同，该统一积分对应以下五种具体形式：

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| 区间 $[a,b]$ | 子区间长度 $\Delta x_k$ | 定积分： $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ | 长度微元 $\mathrm{d}x$ |

| 平面区域 $(\sigma)$ | 子区域面积 $\Delta \sigma_k$ | 二重积分： $\iint_{(\sigma)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma$ | 面积微元 $\mathrm{d}\sigma$ (或 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ) |

| 空间区域 $(V)$ | 子区域体积 $\Delta V_k$ | 三重积分： $\iiint_{(V)} f(x,y,z) \mathrm{d}V$ | 体积微元 $\mathrm{d}V$ (或 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ ) |

| 曲线弧段 $(C)$ | 子弧段长度 $\Delta s_k$ | 第一类曲线积分： $\int_{(C)} f(x,y) \mathrm{d}s$ | 弧长微元 $\mathrm{d}s$ |

| 曲面片 $(S)$ | 子曲面面积 $\Delta S_k$ | 第一类曲面积分： $\iint_{(S)} f(x,y,z) \mathrm{d}S$ | 面积微元 $\mathrm{d}S$ |

三、积分的重要性质与定理#

设 $f(M), g(M)$ 在可度量的闭区域 $(\Omega)$ 上连续，则积分一定存在，且满足以下性质：

1. 线性性质#

$\int_{(\Omega)} k f(M) \mathrm{d}\Omega = k \int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega \quad (k\text{ 为常数})$
$\int_{(\Omega)} [f(M) \pm g(M)] \mathrm{d}\Omega = \int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega \pm \int_{(\Omega)} g(M) \mathrm{d}\Omega$

2. 积分域的可加性#

若 $(\Omega) = (\Omega_1) \cup (\Omega_2)$ ，且 $(\Omega_1)$ 与 $(\Omega_2)$ 除边界外无公共部分，则：

$\int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega = \int_{(\Omega_1)} f(M) \mathrm{d}\Omega + \int_{(\Omega_2)} f(M) \mathrm{d}\Omega$

3. 积分不等式#

保号/比较性：若 $f(M) \le g(M)$ ，则 $\int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega \le \int_{(\Omega)} g(M) \mathrm{d}\Omega$ 。
绝对值不等式： $\left| \int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega \right| \le \int_{(\Omega)} |f(M)| \mathrm{d}\Omega$ 。
估值定理：若 $l \le f(M) \le L$ ，则 $l \cdot \Omega \le \int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega \le L \cdot \Omega$ （其中 $\Omega$ 为几何形体的总度量）。

4. 积分中值定理#

若 $f(M)$ 在有界闭连通集 $(\Omega)$ 上连续，则在 $(\Omega)$ 上至少存在一点 $P$ ，使得：

$\int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega = f(P) \cdot \Omega$

四、核心重难点解析#

1. 为什么极限条件必须是“直径 $d \to 0$ ”而非“测度 $\Delta \Omega_k \to 0$ ”？（习题 A.2）#

原理解析：几何形体的度量（如面积、体积）趋于 $0$ ，并不意味着其形状在所有方向上都收缩。例如，在二维平面中，一个长为 $1$ 、宽为 $\epsilon$ 的极扁矩形，当 $\epsilon \to 0$ 时其面积趋于 $0$ ，但它在长度方向上并没有收缩成点。
如果不要求直径 $d \to 0$ （即每个方向上的尺寸都趋于 $0$ ），就无法保证每个子区域内的函数值可以用单一点 $f(M_k)$ 的函数值来近似，从而导致积分和式的极限可能不唯一或不存在。因此，必须要求所有子区域的最大直径 $d \to 0$ 。

2. 被积函数 $f(M)$ 的有界性要求#

定义 1.1 的批注中指出，被积函数 $f$ 必须在积分域上有界。若 $f$ 无界，其 Riemann 积分的和式极限通常不存在（此时需要引入广义积分）。

五、典型课后题（习题 6.1）精选解析#

1. 物理意义分析（习题 A.1）#

题目：当 $f(M)=1$ 时，积分 $\int_{(\Omega)} f(M) \mathrm{d}\Omega$ 表示什么意义？
解答：根据定义，此时积分式为 $\int_{(\Omega)} 1 \mathrm{d}\Omega = \lim_{d \to 0}\sum \Delta\Omega_k = \Omega$ 。它表示积分域 $(\Omega)$ 的度量。具体地：

* 在定积分中，表示区间长度 $b-a$ ；

* 在二重积分中，表示平面区域的面积；

* 在三重积分中，表示空间区域的体积；

* 在第一类线/面积分中，分别表示曲线的弧长或曲面的面积。

2. 不用计算比较积分大小（习题 A.5 选讲）#

题目 (1)：比较 $\iint_{(\sigma)} (x+y) \mathrm{d}\sigma$ 与 $\iint_{(\sigma)} (x+y)^2 \mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma) = \{ (x,y) \mid x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1 \}$ 。

* 解析：在区域 $(\sigma)$ 内，由于 $x \ge 0, y \ge 0$ 且 $x+y \le 1$ ，所以有 $0 \le x+y \le 1$ 。

* 在区间 $[0,1]$ 上，显然有 $(x+y)^2 \le x+y$ 。

* 根据积分的比较性质，可得：

$\iint_{(\sigma)} (x+y) \mathrm{d}\sigma \ge \iint_{(\sigma)} (x+y)^2 \mathrm{d}\sigma$

题目 (4)：比较 $\iint_{(\sigma_1)} x^2y \mathrm{d}\sigma$ 与 $\iint_{(\sigma_2)} x^2y \mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma_1)$ 为上半单位圆， $(\sigma_2)$ 为整个单位圆。

* 解析：根据积分域的可加性，整个单位圆积分可拆为上半圆和下半圆：

$\iint_{(\sigma_2)} x^2y \mathrm{d}\sigma = \iint_{(\sigma_1)} x^2y \mathrm{d}\sigma + \iint_{(\text{下半圆})} x^2y \mathrm{d}\sigma$

在上半圆 $(\sigma_1)$ 中， $y \ge 0$ ，所以被积函数 $x^2y \ge 0$ ，积分值大于 $0$ 。

在下半圆中， $y < 0$ ，所以被积函数 $x^2y \le 0$ ，积分值小于 $0$ 。

根据对称性，上下半圆的积分大小相等符号相反，即整个单位圆 $(\sigma_2)$ 上的积分为 $0$ 。

因此：

$\iint_{(\sigma_1)} x^2y \mathrm{d}\sigma > \iint_{(\sigma_2)} x^2y \mathrm{d}\sigma$

3. 积分极限计算（习题 B.4 难点）#

题目：设 $f(x,y)$ 为连续函数，求 $\lim_{r \to 0^+} \frac{1}{\pi r^2} \iint_{(\sigma_r)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma_r) = \{ (x,y) \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 \le r^2 \}$ 。
解析：

1. 积分域 $(\sigma_r)$ 是以 $(x_0, y_0)$ 为圆心， $r$ 为半径的闭圆盘，其面积为 $\pi r^2$ 。

2. 由于 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $(\sigma_r)$ 上连续，由二重积分中值定理，必存在圆盘内一点 $(\xi_r, \eta_r) \in (\sigma_r)$ ，使得：

$\iint_{(\sigma_r)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = f(\xi_r, \eta_r) \cdot \text{面积} = f(\xi_r, \eta_r) \pi r^2$

3. 代入极限式中：

$\lim_{r \to 0^+} \frac{1}{\pi r^2} \left[ f(\xi_r, \eta_r) \pi r^2 \right] = \lim_{r \to 0^+} f(\xi_r, \eta_r)$

4. 当 $r \to 0^+$ 时，圆盘收缩至圆心，因此夹逼得出 $(\xi_r, \eta_r) \to (x_0, y_0)$ 。由于 $f(x,y)$ 连续，有：

$\lim_{r \to 0^+} f(\xi_r, \eta_r) = f(x_0, y_0)$

* 结论：该极限值为 $f(x_0, y_0)$ 。这一结论在物理和场论中常用于定义局域物理量的密度。

第二节二重积分的计算#

一、核心理论与计算公式#

1. 二重积分的几何意义#

若被积函数 $f(x,y) \ge 0$ ，则二重积分 $\iint_{(\sigma)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma$ 的值等于以平面闭区域 $(\sigma)$ 为底，以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

想一想拓展：

1. 若 $f(x,y) \le 0$ ，则积分值等于该曲顶柱体体积的相反数（即 $-V$ ）。

2. 若 $f(x,y)$ 在 $(\sigma)$ 上变号，则由曲面与 $xOy$ 面所围成立体的体积为 $V = \iint_{(\sigma)} |f(x,y)| \mathrm{d}\sigma$ 。

2. 直角坐标系下的计算（累次积分法）#

根据积分区域 $(\sigma)$ 的几何特征，主要分为以下两类：

$X$ 型区域（适合先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分）：

$(\sigma) = \{ (x,y) \mid a \le x \le b, \, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}$

$\iint_{(\sigma)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int_{a}^{b} \mathrm{d}x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d}y$

$Y$ 型区域（适合先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分）：

$(\sigma) = \{ (x,y) \mid c \le y \le d, \, x_1(y) \le x \le x_2(y) \}$

$\iint_{(\sigma)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int_{c}^{d} \mathrm{d}y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \mathrm{d}x$

Fubini 定理（交换积分顺序）：

若 $f(x,y)$ 在区域 $(\sigma)$ 上连续，且 $(\sigma)$ 既是 $X$ 型又是 $Y$ 型区域，则两种累次积分结果相等：

$\int_{a}^{b} \mathrm{d}x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d}y = \int_{c}^{d} \mathrm{d}y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \mathrm{d}x$

二、极坐标系下的计算#

当积分区域为圆、圆环、扇形，或被积函数含有 $x^2+y^2$ 项时，采用极坐标变换极为便利。

1. 坐标变换公式#

$x = \rho \cos\theta, \quad y = \rho \sin\theta$

此时，直角坐标系下的面积微元与极坐标面积微元的关系为：

$\mathrm{d}\sigma = \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$

2. 累次积分公式（以 $\theta$ 一步分割为例）#

若积分域 $(\sigma)$ 在极坐标下表示为 $\alpha \le \theta \le \beta, \, \rho_1(\theta) \le \rho \le \rho_2(\theta)$ ，则：

$\iint_{(\sigma)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d}\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \rho \mathrm{d}\rho$

三、曲线坐标系下的变换（一般换元法）#

对于边界复杂、直角或极坐标不便处理的区域，需采用一般坐标变换 $T: u=u(x,y), v=v(x,y)$ 。

1. 雅可比行列式（Jacobian）#

设逆变换为 $x=x(u,v), y=y(u,v)$ ，其雅可比行列式为：

$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}$

变换后的面积元素为： $\mathrm{d}\sigma = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \mathrm{d}u \mathrm{d}v$ 。

2. 换元公式#

$\iint_{(\sigma)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint_{(\sigma')} f[x(u,v), y(u,v)] \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \mathrm{d}u \mathrm{d}v$

常用特例：广义极坐标变换（适用于椭圆区域 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1$ ）

$x = a\rho\cos\theta, \quad y = b\rho\sin\theta$

此时，其雅可比行列式计算得面积微元为： $\mathrm{d}\sigma = ab\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$ 。

四、本节核心重难点解析#

1. 积分顺序的合理选择（如例 2.4）#

计算二重积分时，若积分顺序选择不当，不仅会增加计算量，甚至可能导致原函数无法用初等函数表示。

例 2.4 启示：计算 $\iint_{(\sigma)} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}\sigma$ ，若先对 $x$ 积分，由于 $\int \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x$ 无法用初等函数积出，计算直接受阻；而改用先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分，则可顺利解出。

2. 对称性的巧用（奇偶性与轮换对称性）#

充分利用区域和函数的对称性可极大地简化计算，甚至可以直接得出积分为 $0$ 的结论（如例 2.5、例 2.11）：

奇偶对称性：若积分域关于某坐标轴对称，而被积函数关于该坐标轴对应的变量为奇函数，则积分为 $0$ 。
轮换对称性：若积分域关于直线 $y=x$ 对称，则被积函数中的 $x$ 与 $y$ 对调，积分值保持不变。

五、典型习题与例题精选分析#

1. 奇偶对称性应用(课后题 3.(9))#

题目：计算 $\iint_{(\sigma)} (x\sin y + y\cos x) \mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma)$ 是以 $(1,1), (-1,1), (-1,-1)$ 为顶点的三角形区域。
解析：

1. 描绘积分区域 $(\sigma)$ 。该三角形的边界线为 $y=1$ ， $x=-1$ ，以及 $y=x$ 。

2. 观察可知，该区域关于直线 $y = -x$ 对称。

3. 我们将累次积分列出（作为 $X$ 型区域）：

$I = \int_{-1}^{1} \mathrm{d}x \int_{x}^{1} (x\sin y + y\cos x) \mathrm{d}y$

先对 $y$ 积分：

$\int_{x}^{1} (x\sin y + y\cos x) \mathrm{d}y = \left[ -x\cos y + \frac{y^2}{2}\cos x \right]_{y=x}^{1} = -x\cos 1 + \frac{1}{2}\cos x + x\cos x - \frac{x^2}{2}\cos x$

4. 对 $x$ 进行 $[-1, 1]$ 区间上的积分：

由于 $-x\cos 1$ 和 $x\cos x$ 均为关于 $x$ 的奇函数，在对称区间 $[-1, 1]$ 上的积分为 $0$ 。

剩余部分为偶函数积分：

$I = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2}\cos x - \frac{x^2}{2}\cos x \right) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} (1-x^2)\cos x \mathrm{d}x$

利用分部积分法可求得：

$\int (1-x^2)\cos x \mathrm{d}x = (3-x^2)\sin x - 2x\cos x$

代入上下限 $0$ 与 $1$ ：

$I = 2\sin 1 - 2\cos 1$

2. 极坐标下二重积分计算(课后题 6.(1))#

题目：计算 $\iint_{(\sigma)} e^{x^2+y^2} \mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma) = \{ (x,y) \mid a^2 \le x^2+y^2 \le b^2 \}$ 。
解析：

积分区域为圆环域，被积函数含有 $x^2+y^2$ ，极坐标范围为： $0 \le \theta \le 2\pi, \, a \le \rho \le b$ 。

$I = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{a}^{b} e^{\rho^2} \rho \mathrm{d}\rho = 2\pi \cdot \left[ \frac{1}{2} e^{\rho^2} \right]_{a}^{b} = \pi (e^{b^2} - e^{a^2})$

3. 利用二重积分求平面图形面积(课后题 8.(1))#

题目：求曲线 $xy=a^2$ 与直线 $x+y=\frac{5}{2}a$ （ $a>0$ ）所围成的平面图形面积。
解析：

1. 求解交点横坐标：

$x + \frac{a^2}{x} = \frac{5}{2}a \implies 2x^2 - 5ax + 2a^2 = 0 \implies x_1 = \frac{a}{2}, \, x_2 = 2a$

2. 确定积分域：当 $x \in [\frac{a}{2}, 2a]$ 时，上限为直线 $y = \frac{5}{2}a - x$ ，下限为双曲线 $y = \frac{a^2}{x}$ 。

3. 计算面积 $A$ ：

$A = \int_{a/2}^{2a} \left( \frac{5}{2}a - x - \frac{a^2}{x} \right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{5}{2}ax - \frac{1}{2}x^2 - a^2\ln x \right]_{a/2}^{2a}$

代入计算得：

$A = \left( 5a^2 - 2a^2 - a^2\ln(2a) \right) - \left( \frac{5}{4}a^2 - \frac{1}{8}a^2 - a^2\ln\frac{a}{2} \right) = a^2 \left( \frac{15}{8} - 2\ln 2 \right)$

第三节三重积分的计算#

一、核心计算方法（直角坐标系）#

在直角坐标系下，计算三重积分的核心思想是化三重积分为累次积分（单积分与二重积分的结合）。主要有两种切分路径：

1. 投影法（又称“先单后重”或“拉条法”）#

适用场景：积分域 $(V)$ 的“顶”和“底”边界曲面易于用 $z=z_2(x,y)$ 和 $z=z_1(x,y)$ 表示，且 $(V)$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域 $(\sigma)$ 较简单。
计算公式（公式 3.1）：

$\iiint_{(V)} f(x,y,z) \mathrm{d}V = \iint_{(\sigma)} \left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \mathrm{d}z \right] \mathrm{d}\sigma$

2. 截面法（又称“先重后单”或“切片法”）#

适用场景：被积函数主要与 $z$ 相关，或者用平行于 $xOy$ 平面的平面 $z = \text{const}$ 去截积分域 $(V)$ 时，所得的截面 $(\sigma_z)$ 的边界和面积易于表达。
计算公式（公式 3.2）：

$\iiint_{(V)} f(x,y,z) \mathrm{d}V = \int_{a}^{b} \left[ \iint_{(\sigma_z)} f(x,y,z) \mathrm{d}\sigma \right] \mathrm{d}z$

其中 $a$ 和 $b$ 分别是积分域 $(V)$ 在 $z$ 轴上的投影下限与上限。

二、三维坐标变换与曲线坐标系#

对于边界含有圆柱面、锥面、球面等几何体的区域，直角坐标系往往计算繁琐，需要引入三维空间下的坐标变换。

1. 三维空间下的雅可比行列式（Jacobian）#

设变换关系为 $x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)$ ，其雅可比行列式为：

$J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{vmatrix}$

体积微元变换关系为： $\mathrm{d}V = |J| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$ 。

2. 柱面坐标系（Cylindrical Coordinates）#

变换公式： $x = \rho \cos\theta, \, y = \rho \sin\theta, \, z = z$
体积微元（公式 3.11）： $\mathrm{d}V = \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$
适用场景：积分域边界含有圆柱面（如 $x^2+y^2=R^2$ ）或旋转抛物面（如 $z=x^2+y^2$ ）等。

3. 球面坐标系（Spherical Coordinates）#

变换公式（公式 3.12）：

$x = r \sin\varphi \cos\theta, \quad y = r \sin\varphi \sin\theta, \quad z = r \cos\varphi$

（其中 $r \ge 0, \, 0 \le \varphi \le \pi, \, 0 \le \theta \le 2\pi$ ）

体积微元（公式 3.13）： $\mathrm{d}V = r^2 \sin\varphi \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$
适用场景：积分域边界含有球面（如 $x^2+y^2+z^2=R^2$ ）或圆锥面（如 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ）等。

三、核心重难点：对称性的推广与应用#

合理利用对称性可以大幅缩减三重积分的计算量，常用于以下两个维度：

奇偶对称性：若积分域 $(V)$ 关于某坐标面（如 $xOy$ 平面）对称，而被积函数关于该面对应变量（如 $z$ ）为奇函数，则积分为 $0$ 。

* 例 3.4 启示：在计算 $\iiint_{(V)} (x+y+z) \mathrm{d}V$ 时，区域 $(V)$ 关于 $yOz$ 和 $xOz$ 面对称，由于 $x$ 和 $y$ 是奇函数，故 $\iiint x \mathrm{d}V = 0$ 且 $\iiint y \mathrm{d}V = 0$ ，积分直接简化为 $\iiint z \mathrm{d}V$ 。

轮换对称性：若积分域关于变量 $x, y, z$ 具有某种轮换对称，则可通过变量对调简化积分项。

四、典型习题与例题精选分析#

1. 概念判断题（课后习题 2）#

题目 (1)：设 $(V)$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \le 4$ ， $(V_1)$ 为其上半球体，判断下列等式是否正确：

$\iiint_{(V)} (x+y+z)^2 \mathrm{d}V = 2 \iiint_{(V_1)} (x+y+z)^2 \mathrm{d}V$

解析：

将积分项展开： $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$ 。

由于球体 $(V)$ 关于三个坐标面均对称：

* 交叉项 $xy, yz, zx$ 在整球 $(V)$ 上的积分为 $0$ 。

* 在上半球 $(V_1)$ 上，利用关于 $xOz$ 和 $yOz$ 面的对称性，交叉项的积分同样为 $0$ 。

* 剩余项 $x^2+y^2+z^2$ 是关于 $z$ 的偶函数，由于上半球 $(V_1)$ 的 $z \ge 0$ ，在整球上的积分值确实等于上半球的 $2$ 倍。

* 结论：该式正确。

题目 (4)：判断等式是否正确：

$\iiint_{(V)} 3(x^2+y^2+z^2) \mathrm{d}V = 3 \iiint_{(V)} 4 \mathrm{d}V$

解析：

在积分区域内， $x^2+y^2+z^2$ 是自变量，其值在 $0$ 到 $4$ 之间变化，不能在积分符号内部直接代入边界最大值 $4$ 。

* 结论：该式错误。

2. 重难点题型：两球体交集的体积与积分（课后习题 4.(10) / 对应例 3.9）#

题目：计算 $\iiint_{(V)} z^2 \mathrm{d}V$ ，其中 $(V)$ 为两球体 $x^2+y^2+z^2 \le R^2$ 与 $x^2+y^2+z^2 \le 2Rz$ 的公共部分。
解法对比与分析（本题有三种解法，其繁简对比极具教学意义）：

* 方法一：截面法（最简解法）

两球面的交线处满足 $R^2 - z^2 = 2Rz - z^2 \implies z = \frac{R}{2}$ 。

* 当 $0 \le z \le \frac{R}{2}$ 时，横截面由下半部分球体边界限制，截面半径满足 $r_1^2 = 2Rz - z^2$ 。其截面积为 $\pi(2Rz - z^2)$ 。

* 当 $\frac{R}{2} \le z \le R$ 时，横截面由上半部分球体边界限制，截面半径满足 $r_2^2 = R^2 - z^2$ 。其截面积为 $\pi(R^2 - z^2)$ 。

利用截面法列式：

$I = \int_{0}^{\frac{R}{2}} z^2 \cdot \pi(2Rz - z^2) \mathrm{d}z + \int_{\frac{R}{2}}^{R} z^2 \cdot \pi(R^2 - z^2) \mathrm{d}z$

通过简单的一元多项式积分即可求得：

$I = \frac{59}{480}\pi R^5$

* 方法二：球面坐标法（运算量适中）

在球面坐标系下，交线对应的夹角为 $\cos\varphi = \frac{1}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{3}$ 。

积分域需要以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$ 为界拆分为两部分：

$I = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{R} (r\cos\varphi)^2 \cdot r^2\sin\varphi \mathrm{d}r + \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2R\cos\varphi} (r\cos\varphi)^2 \cdot r^2\sin\varphi \mathrm{d}r$

计算后同样可得 $\frac{59}{480}\pi R^5$ 。该方法展示了根据边界分区域积分的技巧。

3. 极坐标/球面坐标计算体积（课后习题 6.(3)）#

题目：求由曲面 $(x^2+y^2+z^2)^2 = a^3z$ （ $a>0$ ）所围成的立体的体积。
解析：

由于边界方程含有 $(x^2+y^2+z^2)$ 以及 $z$ ，极适合采用球面坐标系。

将方程化为球面坐标：

$(r^2)^2 = a^3(r\cos\varphi) \implies r^3 = a^3\cos\varphi \implies r = a \sqrt[3]{\cos\varphi}$

因为 $r \ge 0$ ，要求 $\cos\varphi \ge 0 \implies \varphi \in [0, \frac{\pi}{2}]$ （立体位于上半空间）。

立体的体积 $V$ 为：

$V = \iiint_{(V)} \mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{a\cos^{1/3}\varphi} r^2 \mathrm{d}r$

先对 $r$ 积分：

$\int_{0}^{a\cos^{1/3}\varphi} r^2 \mathrm{d}r = \frac{a^3}{3}\cos\varphi$

代入外层积分：

$V = 2\pi \cdot \frac{a^3}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\varphi \sin\varphi \mathrm{d}\varphi = \frac{2}{3}\pi a^3 \cdot \left[ \frac{1}{2}\sin^2\varphi \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}\pi a^3$

第四节含参变量的积分与反常重积分#

一、含参变量积分的性质#

设 $D = [a,b] \times [c,d]$ ， $f(x,y)$ 是定义在 $D$ 上的连续函数。定义含参变量 $y$ 的积分：

$F(y) = \int_{a}^{b} f(x,y) \mathrm{d}x \quad (y \in [c,d])$

1. 基本性质定理（常数积分限）#

定理 4.1（连续性）：若 $f \in C(D)$ ，则 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续。其重要极限形式为（极限与积分号可交换顺序）：

$\lim_{y \to y_0} \int_{a}^{b} f(x,y) \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \left[ \lim_{y \to y_0} f(x,y) \right] \mathrm{d}x$

定理 4.2（可导性 / 积分号下求导）：若 $f \in C(D)$ 且偏导数 $f_y \in C(D)$ ，则 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上可导，且：

$F'(y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \int_{a}^{b} f(x,y) \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \mathrm{d}x$

定理 4.3（积分顺序交换性）：若 $f \in C(D)$ ，则累次积分可以交换顺序：

$\int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x,y) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x,y) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x$

2. 变限参数积分求导（Leibniz 积分法则）#

定理 4.5：若 $f(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$ 在 $D$ 上连续，且积分限函数 $x_1(y), x_2(y)$ 在 $[c,d]$ 上可导，则 $F(y) = \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \mathrm{d}x$ 可导，且：

$F'(y) = \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \mathrm{d}x + f[x_2(y), y] \cdot x_2'(y) - f[x_1(y), y] \cdot x_1'(y)$

二、反常重积分理论#

反常重积分主要分为两类：无界区域上的重积分和无界函数的重积分。

1. 无界区域的二重积分（定义 4.1）#

设 $(\sigma)$ 为无界区域。若对于任何趋于整个区域的单调有界区域序列 $(\sigma_n)$ ，极限 $\lim_{n \to \infty} \iint_{(\sigma_n)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma$ 均存在且相等，则称该反常重积分收敛。

定理 4.6（无穷远处的收敛判别法）：若在无界区域上存在常数 $M > 0$ 和 $\alpha > 2$ ，当 $\rho = \sqrt{x^2+y^2} \ge \rho_0$ 时有：

$|f(x,y)| \le \frac{M}{\rho^\alpha}$

则反常重积分 $\iint_{(\sigma)} f(x,y) \mathrm{d}\sigma$ 收敛。（若 $\alpha \le 2$ ，在正值函数下通常发散）。

2. 无界函数的二重积分（奇点位于原点，定义 4.2）#

设 $P_0(x_0, y_0)$ 为函数的无界奇点。

定理 4.7（奇点处的收敛判别法）：若在奇点邻域内有 $|f(x,y)| \le \frac{M}{\rho^\alpha}$ ，则：

* 当 $\alpha < 2$ 时，反常重积分收敛；

* 当 $\alpha \ge 2$ 时，反常重积分发散。

三、重难点突破：两个经典数学工具的诞生#

1. 交换积分顺序简化一元积分（例 4.2）#

通过构造含参变量积分，并利用定理 4.3 交换积分顺序，可以避开直接积分的困境。

典型方法：求解 $\int_{0}^{1} \frac{x^b - x^a}{\ln x} \mathrm{d}x$ 。

注意到被积函数可以写为参数积分： $\frac{x^b - x^a}{\ln x} = \int_{a}^{b} x^y \mathrm{d}y$ 。

从而原积分为：

$I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{a}^{b} x^y \mathrm{d}y = \int_{a}^{b} \mathrm{d}y \int_{0}^{1} x^y \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \frac{1}{y+1} \mathrm{d}y = \ln \frac{1+b}{1+a}$

2. 高斯概率积分的推导（例 4.5）#

利用二重反常积分可证出概率统计中极其重要的高斯积分值 $\sqrt{\pi}$ ：

设 $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x$ 。通过构建全平面的二重反常积分：

$\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x \right)^2$

另一方面，在极坐标下计算该反常二重积分：

$\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{+\infty} e^{-\rho^2} \rho \mathrm{d}\rho = \pi$

从而证得： $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$ 。

四、重点习题精选分析#

1. 积分与极限顺序交换(课后题 A.1.(3))#

题目：求极限 $\lim_{\alpha \to 0} \int_{0}^{1} \sqrt{1+\alpha^2-x^2} \mathrm{d}x$ 。
解析：

被积函数 $f(x,\alpha) = \sqrt{1+\alpha^2-x^2}$ 在区域 $[0,1] \times [-\delta, \delta]$ 上连续。由定理 4.1，极限与积分号可直接交换：

$\lim_{\alpha \to 0} \int_{0}^{1} \sqrt{1+\alpha^2-x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \left( \lim_{\alpha \to 0} \sqrt{1+\alpha^2-x^2} \right) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x$

此积分为四分之一单位圆面积，结果为 $\frac{\pi}{4}$ 。

2. Feynman积分求导妙用（课后题 A.3.(3) - 经典难题）#

题目：计算积分 $I(a,b) = \int_{0}^{\pi/2} \ln(a^2\sin^2 x + b^2\cos^2 x) \mathrm{d}x$ （ $a>0, b>0$ ）。
解析：

1. 设 $I(a,b)$ ，对参数 $a$ 求偏导：

$\frac{\partial I}{\partial a} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{2a\sin^2 x}{a^2\sin^2 x + b^2\cos^2 x} \mathrm{d}x$

2. 分子分母同除以 $\cos^2 x$ ，令 $t = \tan x$ 进行代换：

$\frac{\partial I}{\partial a} = \int_{0}^{+\infty} \frac{2a t^2}{(a^2t^2+b^2)(1+t^2)} \mathrm{d}t$

3. 利用部分分式拆分后积分，可算得极为简洁的偏导关系式：

$\frac{\partial I}{\partial a} = \frac{\pi}{a+b}$

4. 同理，由对称性可知： $\frac{\partial I}{\partial b} = \frac{\pi}{a+b}$ 。

5. 积分恢复原函数，得 $I(a,b) = \pi \ln(a+b) + C$ 。

6. 代入特殊值 $a=b=1$ 定常数： $I(1,1) = \int_0^{\pi/2} \ln(1) \mathrm{d}x = 0 \implies \pi\ln(2) + C = 0 \implies C = -\pi\ln 2$ 。

* 结论： $I(a,b) = \pi \ln \frac{a+b}{2}$ 。

3. 积分号下交换积分计算（课后题 A.4 - Frullani积分）#

题目：计算积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} \mathrm{d}x$ （ $a>0, b>0$ ）。
解析：

由于 $\frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} = \int_{a}^{b} e^{-yx} \mathrm{d}y$ ，可将原积分化为含参变量的反常重积分：

$I = \int_{0}^{+\infty} \mathrm{d}x \int_{a}^{b} e^{-yx} \mathrm{d}y$

交换积分顺序：

$I = \int_{a}^{b} \mathrm{d}y \int_{0}^{+\infty} e^{-yx} \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \left[ -\frac{1}{y} e^{-yx} \right]_{0}^{+\infty} \mathrm{d}y = \int_{a}^{b} \frac{1}{y} \mathrm{d}y = \ln \frac{b}{a}$

第五节重积分的应用#

一、重积分的微元法基础（定义与定理）#

将一元函数定积分的“微元法”推广至多元重积分，其核心是引入区域函数对域的导数。

1. 区域函数与对域的导数（定义 5.1）#

设平面区域 $(\sigma)$ ，对其任一子域 $(\Delta\sigma)$ ，若存在某一对应的物理或几何量 $F((\Delta\sigma))$ ，则称 $F$ 为区域函数。

若对于子域内的一点 $M(x,y)$ ，当子域直径 $d \to 0$ 时，极限：

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\sigma} = \lim_{d \to 0} \frac{F((\Delta\sigma))}{\Delta \sigma} = f(x,y)$

存在，则称 $f(x,y)$ 为区域函数 $F$ 在点 $M$ 处对区域面积的导数。其对应的线性主部即为该物理量的微元（微分）：

$\mathrm{d}F = f(x,y) \mathrm{d}\sigma$

2. 变限重积分对域的导数（定理 5.2）#

设连续函数 $f(M)$ 在变域上的重积分定义为区域函数： $\Phi((\Delta\sigma)) = \iint_{(\Delta\sigma)} f(M) \mathrm{d}\sigma$ 。由积分中值定理及极限过程可证：

$\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\sigma} = f(x,y)$

该定理表明，连续函数在变域上的重积分作为区域函数，其对域的导数就等于被积函数在该点的值。这就为物理微元的合理性提供了严格的数学支撑。

3. 微元法的标准步骤#

若某一物理量 $\Phi$ 关于区域具有可加性，则：

建立微元：在微小区域 $\mathrm{d}\sigma$ （或 $\mathrm{d}V$ ）上，将分布不均匀的物理量看作均匀分布，写出微元表达式 $\mathrm{d}\Phi = f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 。
累加求和（求积分）：将微元在整个区域上进行重积分，得到总量 $\Phi = \iint_{(\sigma)} f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 。

二、典型物理应用公式系统#

根据微元法，本节推导并归纳了以下重要的物理应用公式（以均匀分布或已知密度分布为例）：

1. 质心与静矩（Center of Mass & Static Moments）#

对于密度分布为常数 $K$ （或变化密度为 $f(x,y,z)$ ）的空间物体 $(V)$ ：

静矩公式（对三个坐标面的静矩）：

$M_{yz} = \iiint_{(V)} x \mathrm{d}m, \quad M_{zx} = \iiint_{(V)} y \mathrm{d}m, \quad M_{xy} = \iiint_{(V)} z \mathrm{d}m$

质心坐标公式：

$\bar{x} = \frac{M_{yz}}{m}, \quad \bar{y} = \frac{M_{zx}}{m}, \quad \bar{z} = \frac{M_{xy}}{m}$

其中 $m = \iiint_{(V)} \mathrm{d}m$ 为物体的总质量。

2. 转动惯量（Moment of Inertia）#

物体的转动惯量微元满足 $\mathrm{d}I = r^2 \mathrm{d}m$ ，其中 $r$ 为微元到转轴的垂直距离。

平面薄板 $(\sigma)$ 对 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量：

$I_x = \iint_{(\sigma)} y^2 \mathrm{d}m, \quad I_y = \iint_{(\sigma)} x^2 \mathrm{d}m$

平面薄板对原点（极轴）的转动惯量：

$I_0 = I_x + I_y = \iint_{(\sigma)} (x^2+y^2) \mathrm{d}m$

3. 引力计算（Gravitational Attraction）#

设一质量为 $m'$ 的质点置于 $P'(x_0,y_0,z_0)$ ，连续分布物体 $(V)$ 密度为 $\mu$ ，则 $(V)$ 对该质点的万有引力矢量为：

$\vec{F} = G m' \iiint_{(V)} \frac{\vec{r}}{r^3} \mu \mathrm{d}V$

其中 $\vec{r}$ 是从 $P'$ 指向物体内部微元点的向量。

三、本节重难点解析#

1. 引力场极限的物理学推广（例 5.4）#

例 5.4 求解了平面圆盘对轴线上单质点的万有引力：

$F_z = -2\pi\mu G \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}} \right)$

在物理理论分析中，若圆盘半径 $R \to \infty$ （即圆盘被视为无限大平面），极限结果为：

$\lim_{R \to \infty} F_z = -2\pi \mu G$

此极限值表明：无限大均匀带质量平面在其附近空间产生的引力场是均匀场，其大小仅取决于面密度 $\mu$ ，与质点到平面的距离 $h$ 无关。

2. 质心计算中的截面法与柱坐标法的合理选择#

在求解旋转对称体（如半球体、半椭球体）的质心时：

采用截面法（Slicing Method）通常比柱/球面坐标法更为简单。因为截面法能直接把三重积分转化为关于对称轴一元变量的简单积分。

四、重点习题与例题精选分析#

1. 均匀半椭球体的质心坐标(课后习题 A.2.(1))#

题目：求边界为上半椭球面 $z = c \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}$ 及平面 $z=0$ （ $a>0, b>0, z \ge 0$ ）所围成的均匀物体的质心。
解析：

1. 对称性分析：由于椭球体关于 $yOz$ 轴和 $xOz$ 轴对称且密度均匀，因此其质心必在 $z$ 轴上，即：

$\bar{x} = 0, \quad \bar{y} = 0$

2. 总体积（质量 $m$ ）：

已知整椭球体积为 $\frac{4}{3}\pi abc$ ，均匀半椭球体的体积为：

$V = \frac{2}{3}\pi abc$

3. 利用截面法求静矩 $M_{xy}$ ：

在高度 $z \in [0,c]$ 处，平行于 $xOy$ 面的截面 $(\sigma_z)$ 是一个椭圆：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1 - \frac{z^2}{c^2}$

该椭圆的半轴分别为 $a \sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}}$ 和 $b \sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}}$ 。因此其截面积为：

$S(z) = \pi \cdot a \sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}} \cdot b \sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}} = \pi ab \left( 1 - \frac{z^2}{c^2} \right)$

静矩为：

$M_{xy} = \int_{0}^{c} z \cdot S(z) \mathrm{d}z = \pi ab \int_{0}^{c} z \left( 1 - \frac{z^2}{c^2} \right) \mathrm{d}z = \pi ab \left[ \frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{4c^2} \right]_{0}^{c} = \frac{1}{4} \pi abc^2$

4. 质心高度 $\bar{z}$ ：

$\bar{z} = \frac{M_{xy}}{V} = \frac{\frac{1}{4} \pi abc^2}{\frac{2}{3}\pi abc} = \frac{3}{8}c$

* 结论：均匀半椭球体的质心坐标为 $(0, 0, \frac{3}{8}c)$ 。（此结论在 $a=b=c$ 时退化为均匀半球体质心高 $\frac{3}{8}a$ 的经典结论）。

2. 平行轴定理的推导与应用（课后习题 B.4 / B.5 核心）#

定理内容：若物体 $(V)$ 对通过其质心且平行于给定轴 $L$ 的轴 $L_c$ 的转动惯量为 $I_c$ ，则物体对轴 $L$ 的转动惯量 $I_L$ 为：

$I_L = I_c + m d^2$

其中 $m$ 为物体总质量， $d$ 为轴 $L$ 与 $L_c$ 之间的距离。

应用举例（习题 B.5）：利用平行轴定理求半径为 $R$ 的均匀球体对于任一条切线 $T$ 的转动惯量 $I_T$ 。

1. 通过球心的轴 $L_c$ 的转动惯量为经典的 $I_c = \frac{2}{5}mR^2$ 。

2. 球的切线 $T$ 与通过球心的平行轴之间的距离为 $d = R$ 。

3. 直接套用平行轴定理：

$I_T = I_c + m R^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$

第六节第一型线积分与面积分#

一、第一型线积分（对弧长的曲线积分）#

1. 概念与定义（公式 6.1）#

设曲线弧段 $(C)$ 是有界的，其长度微元 $\mathrm{d}s > 0$ 。函数 $f(x,y,z)$ 在 $(C)$ 上的第一型线积分定义为：

$\int_{(C)} f(x,y,z) \mathrm{d}s = \lim_{d \to 0} \sum_{k=1}^n f(\xi_k, \eta_k, \zeta_k) \Delta s_k$

核心特征：由于弧长微元 $\Delta s_k > 0$ 恒正，第一型线积分的值与积分路径的走向无关。

2. 参数计算公式（公式 6.3）#

若 $(C)$ 的参数方程为 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ （ $\alpha \le t \le \beta$ ，且 $\alpha < \beta$ ），则：

$\int_{(C)} f(x,y,z) \mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t) + \dot{z}^2(t)} \mathrm{d}t$

二、第一型面积分（对面积的曲面积分）#

1. 曲面面积与面积微元（公式 6.8 & 6.11）#

参数式曲面 $\vec{r}(u,v) = (x,y,z)$ ：面积微元为 $\mathrm{d}S = \| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \| \mathrm{d}u\mathrm{d}v$ 。
显式曲面 $z = z(x,y)$ ：

面积微元满足投影关系： $\mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\cos\gamma}$ ，其中 $\cos\gamma$ 是曲面法向量与 $z$ 轴正向的夹角余弦，即：

$\mathrm{d}S = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

2. 第一型面积分计算公式（公式 6.15）#

若曲面 $(S)$ 的方程为 $z=z(x,y)$ ，在 $xOy$ 面投影为 $(\sigma)$ ，则：

$\iint_{(S)} f(x,y,z) \mathrm{d}S = \iint_{(\sigma)} f[x, y, z(x,y)] \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

三、解题精髓：对称性化简技术#

第一型线积分与面积分在几何对称体（如圆、球）上的应用极具技巧性，合理利用对称性往往能免去繁琐的积分计算。

1. 奇偶对称性（消项技术）#

若积分路径 $(C)$ 关于坐标原点（或某坐标轴）对称，而被积函数 $f(x,y,z)$ 关于其变量为奇函数，则积分为 $0$ 。
例 6.2 启示：计算 $\int_{(C)} y \mathrm{d}s$ ， parabolic 弧段 $y^2 = 2x$ 在 $[-2, 2]$ 内关于 $x$ 轴对称。由于被积函数 $y$ 是奇函数，可直接断定积分为 $0$ 。

2. 轮换对称性（均分技术）#

空间曲线圆周的轮换对称（例 6.3）：

若积分路径是球面与过原点平面的交线圆周 $(C)$ ，由于其对于 $x, y, z$ 的几何地位完全相同：

$\oint_{(C)} x^2 \mathrm{d}s = \oint_{(C)} y^2 \mathrm{d}s = \oint_{(C)} z^2 \mathrm{d}s = \frac{1}{3} \oint_{(C)} (x^2+y^2+z^2) \mathrm{d}s$

球面面积分的轮换对称（例 6.9）：

若积分域为球面 $(S): x^2+y^2+z^2=a^2$ ，则：

$\iint_{(S)} x^2 \mathrm{d}S = \iint_{(S)} y^2 \mathrm{d}S = \iint_{(S)} z^2 \mathrm{d}S = \frac{1}{3} \iint_{(S)} (x^2+y^2+z^2) \mathrm{d}S = \frac{1}{3} a^2 \cdot 4\pi a^2 = \frac{4}{3}\pi a^4$

四、精选课后习题详细解答（打勾/标记题目）#

1. 抛物线弧段的第一型线积分(习题 6.6 A.1.(1))#

题目：计算 $\int_{(C)} y \mathrm{d}s$ ，其中 $(C)$ 为抛物线 $y^2=2x$ 上自点 $(0,0)$ 到点 $(2,2)$ 的一段弧。
解析：

1. 采用 $y$ 作为积分参数： $x = \frac{1}{2}y^2$ ，其中 $y \in [0,2]$ 。

2. 计算弧长微元：

$\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^2} \mathrm{d}y = \sqrt{1+y^2} \mathrm{d}y$

3. 列式并积分：

$\int_{(C)} y \mathrm{d}s = \int_{0}^{2} y \sqrt{1+y^2} \mathrm{d}y = \left[ \frac{1}{3} (1+y^2)^{3/2} \right]_{0}^{2} = \frac{5\sqrt{5} - 1}{3}$

2. 空间曲面交线的第一型线积分(习题 6.6 A.1.(5))#

题目：计算 $\oint_{(C)} x^2 \mathrm{d}s$ ，其中 $(C)$ 为圆周 $x^2+y^2+z^2=4$ 与平面 $z=\sqrt{3}$ 的交线。
解析：

1. 分析交线几何结构：将 $z=\sqrt{3}$ 代入球面方程，得：

$x^2+y^2 = 4 - 3 = 1$

此交线 $(C)$ 为位于高度 $z = \sqrt{3}$ 处的水平单位圆，半径为 $R=1$ ，其周长为 $L = 2\pi$ 。

2. 利用圆周的轮换对称性：

$\oint_{(C)} x^2 \mathrm{d}s = \oint_{(C)} y^2 \mathrm{d}s \implies \oint_{(C)} x^2 \mathrm{d}s = \frac{1}{2} \oint_{(C)} (x^2+y^2) \mathrm{d}s$

3. 由于在圆周上 $x^2+y^2 = 1$ 恒成立，原积分直接化简为：

$\oint_{(C)} x^2 \mathrm{d}s = \frac{1}{2} \oint_{(C)} 1 \mathrm{d}s = \frac{1}{2} \cdot \text{圆周长} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$

3. 半球面上的第一型面积分(习题 6.6 A.10.(3))#

题目：计算 $\iint_{(S)} (x+y+z) \mathrm{d}S$ ，其中 $(S)$ 是上半球面 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 。
解析：

1. 对称性分析：上半球面 $(S)$ 关于 $yOz$ 面及 $xOz$ 面对称。

* 由于被积函数中的 $x$ 和 $y$ 是奇函数，对应的积分项为 $0$ ：

$\iint_{(S)} x \mathrm{d}S = 0, \quad \iint_{(S)} y \mathrm{d}S = 0$

* 积分式直接简化为求： $\iint_{(S)} z \mathrm{d}S$ 。

2. 显式公式计算：上半球面在 $xOy$ 面的投影区域 $(\sigma)$ 为圆域 $x^2+y^2 \le a^2$ 。

计算偏导数： $z_x = -\frac{x}{z}$ ， $z_y = -\frac{y}{z}$ ，则：

$\mathrm{d}S = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{z^2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{a}{z} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

3. 代入并消去 $z$ 项：

$\iint_{(S)} z \mathrm{d}S = \iint_{(\sigma)} z \cdot \frac{a}{z} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = a \iint_{(\sigma)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

上式右端的二重积分为投影圆域的面积 $\pi a^2$ ，因此：

$\iint_{(S)} (x+y+z) \mathrm{d}S = a \cdot \pi a^2 = \pi a^3$

第七节第二型线积分与面积分#

一、第二型线积分（对坐标的曲线积分）#

1. 概念与定义（公式 7.2）#

设 $\vec{A}(M) = (P, Q, R)$ 为有界向量场， $(C)$ 为从起点 $A$ 到终点 $B$ 的有向曲线。第二型线积分定义为向量点积和的极限：

$\int_{(C)} \vec{A}(M) \cdot \mathrm{d}\vec{s} = \lim_{d \to 0} \sum_{k=1}^n \vec{A}(\bar{M}_k) \cdot \mathbf{{M}_{k-1}M_k}$

其直角坐标分量形式为（对坐标的曲线积分，公式 7.3）：

$\int_{(C)} P(x,y,z) \mathrm{d}x + Q(x,y,z) \mathrm{d}y + R(x,y,z) \mathrm{d}z$

2. 参数计算公式（公式 7.4）#

设光滑有向曲线 $(C)$ 的参数方程为 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ ，其中参数 $t$ 从起点对应的 $\alpha$ 变化到终点对应的 $\beta$ （注意：不要求 $\alpha < \beta$ ），则：

$\int_{(C)} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = \int_{\alpha}^{\beta} \left[ P(x(t), y(t), z(t))\dot{x}(t) + Q(x(t), y(t), z(t))\dot{y}(t) + R(x(t), y(t), z(t))\dot{z}(t) \right] \mathrm{d}t$

3. 方向变号性质#

若将积分路径的方向反转（记为 $-C$ ），积分值变号：

$\int_{(C)} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{s} = -\int_{(-C)} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{s}$

二、第二型面积分（对坐标的曲面积分）#

1. 有向曲面与流量模型#

为了定义第二型面积分，曲面必须指定侧（即确定法向量 $\vec{e}_n$ 的指向，如上侧/下侧、内侧/外侧）。

第二型面积分在物理上代表向量场（如流速场）穿过有向曲面的通量（Flux）。

2. 概念与定义（公式 7.8 & 7.11）#

$\iint_{(S)} \vec{A}(M) \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{(S)} (\vec{A} \cdot \vec{e}_n) \mathrm{d}S$

设 $\vec{A} = (P, Q, R)$ ，法单位向量 $\vec{e}_n = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 。利用有向投影元定义写为：

$\iint_{(S)} P \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$

3. 显式方程下的计算法与“符号法则”（公式 7.12）#

以含有 $R \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$ 的单项积分为例，若曲面方程为 $z=z(x,y)$ ，其在 $xOy$ 面投影为 $(\sigma_{xy})$ ，则：

$\iint_{(S)} R(x,y,z) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \pm \iint_{(\sigma_{xy})} R[x, y, z(x,y)] \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

正负号判定规则：

* 若有向曲面 $(S)$ 的法向量 $\vec{n}$ 与 $z$ 轴正方向夹角为锐角（即取上侧），前号取 $+$ ；

* 若夹角为钝角（即取下侧），前号取 $-$ 。

* 对 $\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z$ （投影到 $yOz$ 面，看前侧 $[+]$ / 后侧 $[-]$ ）和 $\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x$ （投影到 $zOx$ 面，看右侧 $[+]$ / 左侧 $[-]$ ）同理适用。

三、两类积分的桥梁与联系#

第二型积分本质上可以通过方向余弦投影，转化为第一型无方向的积分。

曲线积分联系（公式 7.5 & 7.6）：

$\int_{(C)} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = \int_{(C)} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\mathrm{d}s$

曲面积分联系（公式 7.9）：

$\iint_{(S)} P \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \iint_{(S)} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\mathrm{d}S$

四、重点习题详细解答（打勾/标记题目）#

1. 沿椭圆的第二型线积分(习题 6.7 A.2.(3))#

题目：计算 $\oint_{(C)} y \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y$ ，其中 $(C)$ 为正向椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 。
解析：

1. 引入参数方程： $x = a\cos t, \, y = b\sin t$ 。由于是正向（逆时针），参数 $t$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 。

2. 微元代换： $\mathrm{d}x = -a\sin t \mathrm{d}t, \, \mathrm{d}y = b\cos t \mathrm{d}t$ 。

3. 代入计算：

$\oint_{(C)} y \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y = \int_{0}^{2\pi} \left[ b\sin t (-a\sin t) - a\cos t (b\cos t) \right] \mathrm{d}t$

$= \int_{0}^{2\pi} -ab (\sin^2 t + \cos^2 t) \mathrm{d}t = -ab \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}t = -2\pi ab$

2. 半球面上的第二型面积分(习题 6.7 A.10.(1))#

题目：计算 $\iint_{(S)} (x+1)^2 \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$ ，其中 $(S)$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ ( $z \ge 0$ ) 的上侧。
解析：

1. 符号判定：曲面为上半球面且取上侧，法向量与 $z$ 轴夹角为锐角，因此投影到 $xOy$ 面时，系数取 $+$ 。

2. 投影区域：投影区域 $(\sigma_{xy})$ 为圆域 $x^2+y^2 \le R^2$ 。

3. 转换计算：

$\iint_{(S)} (x+1)^2 \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = + \iint_{(\sigma_{xy})} (x^2+2x+1) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

4. 利用对称性化简：由于积分域 $(\sigma_{xy})$ 关于 $y$ 轴对称，奇次方项 $2x$ 的积分为 $0$ 。

$\iint_{(\sigma_{xy})} (x^2+2x+1) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{(\sigma_{xy})} x^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint_{(\sigma_{xy})} 1 \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

* 第一项：由极轴对称性， $\iint x^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\iint (x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R \rho^3\mathrm{d}\rho = \frac{\pi R^4}{4}$ 。

* 第二项：等于圆域面积 $\pi R^2$ 。

* 结论：

$\iint_{(S)} (x+1)^2 \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \frac{\pi R^4}{4} + \pi R^2 = \pi R^2 \left( 1 + \frac{R^2}{4} \right)$

3. 旋转抛物面与平面的通量流量（习题 6.7 A.13.(2) / 对应例 7.9）#

题目：求向量 $\vec{r} = (x,y,z)$ 穿过圆柱体 $x^2+y^2 \le a^2, \, 0 \le z \le h$ 的全表面外侧的通量。
解析：

圆柱全表面外侧 $(S)$ 可以分为三部分：侧面 $(S_1)$ ，底面 $(S_2)$ ，顶面 $(S_3)$ 。

* 侧面 $(S_1)$ ：在柱面上，径向向量 $\vec{r}$ 的水平分量与柱面的外法线单位向量 $\vec{e}_n$ 平行且同向，而竖直分量 $z\vec{k}$ 与侧法线垂直（点积为 $0$ ）。因此在侧面上：

$\vec{r} \cdot \vec{e}_n = a$

$\iint_{(S_1)} \vec{r} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{(S_1)} a \mathrm{d}S = a \cdot (\text{侧面积}) = a \cdot 2\pi a h = 2\pi a^2 h$

* 底面 $(S_2)$ ：方程为 $z=0$ ，外法线指向下，即 $\vec{e}_n = -\vec{k}$ 。

$\vec{r} \cdot \vec{e}_n = (x, y, 0) \cdot (0, 0, -1) = 0 \implies \iint_{(S_2)} \vec{r} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0$

* 顶面 $(S_3)$ ：方程为 $z=h$ ，外法线指向上，即 $\vec{e}_n = +\vec{k}$ 。

$\vec{r} \cdot \vec{e}_n = (x, y, h) \cdot (0, 0, 1) = h$

$\iint_{(S_3)} \vec{r} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{(S_3)} h \mathrm{d}S = h \cdot (\text{顶圆面积}) = h \cdot \pi a^2 = \pi a^2 h$

* 总通量 $\Phi$ ：

$\Phi = 2\pi a^2 h + 0 + \pi a^2 h = 3\pi a^2 h$

第八节各种积分的联系及其在场论中的应用#

一、平面格林公式（Green’s Theorem）#

格林公式是连接平面闭区域上的二重积分与沿其边界的第二型线积分的桥梁。

1. 平面区域的连通性#

单连通域：直观上，区域内部没有“洞”。即区域内任何简单闭曲线围成的部分都完全属于该区域。
复连通域：区域内含有“洞”（如图 6.61 所示）。

2. 格林公式定理（定理 8.1）#

设平面有界闭区域 $(\sigma)$ 由分段光滑的简单闭曲线 $(C)$ 围成。约定 $(+C)$ 为 $(C)$ 的正向（即当人沿此方向行走时，区域 $(\sigma)$ 始终在人的左侧）。

若函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $(\sigma)$ 上具有连续的一阶偏导数，则：

$\iint_{(\sigma)} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}\sigma = \oint_{(+C)} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y$ （公式 8.1）

3. 复连通域下的推广#

格林公式对复连通域同样成立。此时，边界曲线 $(+C)$ 包括：

外边界：逆时针方向；
内边界：顺时针方向。

通过引入辅助切割线（如图 6.64 ），切割线两侧的线积分因方向相反相互抵消，从而证明了格林公式在复连通域上的普适性。

二、平面曲线积分与路径无关的等价条件#

在单连通域内，力场做功与路径无关，在数学上对应于全微分形式。

1. 四大等价命题（定理 8.2）#

设 $(\sigma)$ 是平面单连通域， $P, Q$ 在 $(\sigma)$ 内连续。以下四个命题相互等价：

沿 $(\sigma)$ 内任意分段光滑的闭曲线 $(C)$ ，其第二型线积分为 $0$ ：

$\oint_{(C)} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = 0 \quad \text{（环量为 0，即无旋场）}$

沿 $(\sigma)$ 内任意曲线的积分值仅与起点 $A$ 和终点 $B$ 有关，与积分路径无关：

$\int_{(C)} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \int_{A}^{B} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y \quad \text{（保守力场做功）}$

被积表达式 $P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y$ 是某个二元函数 $u(x,y)$ 的全微分：

$\mathrm{d}u = P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y \quad \text{（势函数存在，即有势场）}$

在 $(\sigma)$ 内处处满足偏导数相等条件（定理 8.3）：

$\frac{\partial P}{\partial y} \equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$

2. 势函数 $u(x,y)$ 的求法#

若已知 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，求势函数（全微分原函数）主要有以下三种方法：

折线积分法：选择基准点 $(x_0, y_0)$ ，沿平行于坐标轴的折线路径进行积分：

$u(x,y) = \int_{x_0}^{x} P(t, y_0) \mathrm{d}t + \int_{y_0}^{y} Q(x, t) \mathrm{d}t + C$

偏积分法：先对 $x$ 求偏积分，再对 $y$ 求偏导数并与 $Q(x,y)$ 进行对比：

$u(x,y) = \int P(x,y) \mathrm{d}x + \varphi(y) \implies \frac{\partial u}{\partial y} = Q(x,y) \implies \text{求出 } \varphi(y)$

凑微分法：利用微分运算法则，直接拼凑出 $\mathrm{d}(\dots)$ 的形式（如例 8.4 方法三）。

三、高斯公式与散度（Gauss’s Theorem & Divergence）#

高斯公式是格林公式在三维空间中的推广，它建立了空间闭区域上的三重积分与**其边界闭曲面上的第二型面积分（通量）**的对应关系。

1. 高斯公式定理（定理 8.4）#

设空间有界闭区域 $(V)$ 的边界为分片光滑的闭曲面 $(S)$ （约定法向量朝外）。若 $P, Q, R$ 在 $(V)$ 上具有连续的一阶偏导数，则：

$\iiint_{(V)} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V = \oiint_{(S)} P \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$ （公式 8.7）

向量形式（利用哈密顿算子 $\nabla$ ，公式 8.10）：

$\iiint_{(V)} \nabla \cdot \vec{A} \mathrm{d}V = \oiint_{(S)} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$

2. 散度（Divergence）#

向量场 $\vec{A}(M) = (P, Q, R)$ 在点 $M$ 处的散度定义为：

$\operatorname{div} \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

物理意义：散度代表单位体积内流体流出的净通量，即源强密度。

* $\operatorname{div} \vec{A} > 0$ ：该点有正源（有流体产生）；

* $\operatorname{div} \vec{A} < 0$ ：该点有负源（有流体汇集/消亡）。

四、斯托克斯公式与旋度（Stokes’ Theorem & Curl）#

斯托克斯公式将空间闭合曲线上的第二型线积分与以该曲线为边界的任意有向曲面上的第二型面积分联系起来，是格林公式在三维空间中的推广。

1. 斯托克斯公式定理（定理 8.5）#

设 $(S)$ 为分片光滑的有向曲面，其边界为分段光滑的简单闭曲线 $(C)$ 。 $(C)$ 的方向与 $(S)$ 的法向量 $\vec{e}_n$ 符合右手螺旋法则（如图 6.72 ）。

若 $P, Q, R$ 在包含 $(S)$ 的区域上具有连续的一阶偏导数，则：

$\oint_{(C)} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z = \iint_{(S)} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$ （公式 8.18）

向量形式（公式 8.19 & 8.26）：

$\oint_{(C)} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{s} = \iint_{(S)} (\nabla \times \vec{A}) \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{(S)} \operatorname{rot} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$

2. 环量与环量密度#

环量（Circulation）：第二型闭合线积分 $\oint_{(C)} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{s}$ 刻画了向量场沿曲线的旋转趋势。
环量密度（Circulation Density）：在点 $M$ 处沿法向 $\vec{e}_n$ 的单位面积环量极限。

旋度是一个向量，其方向代表环量密度最大的方向（即旋转轴方向），其模代表最大环量密度。

3. 旋度的坐标计算公式（公式 8.25）#

$\operatorname{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \vec{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \vec{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \vec{k}$

4. 核心场论恒等式#

梯度的旋度恒为零： $\nabla \times (\nabla u) = \vec{0} \quad \text{（即势场无旋）}$
旋度的散度恒为零： $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0 \quad \text{（即旋度场无源）}$
拉普拉斯恒等式： $\nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \Delta \vec{A}$

五、三种重要的特殊向量场#

根据散度和旋度的不同组合，空间向量场可以分为以下三类：

1. 无旋场（Irrotational Field / 保守场 / 有势场）#

定义：满足 $\operatorname{rot} \vec{A} \equiv \vec{0}$ 。
等价性质（一维单连通域下）：

线积分与路径无关，环量恒为 $0$ ，且存在标量势函数 $u$ 使得 $\vec{A} = \nabla u$ 。

2. 无源场（Solenoidal Field / 螺线场 / 管状场）#

定义：满足 $\operatorname{div} \vec{A} \equiv 0$ 。
等价性质（二维单连通域下）：

任意闭合曲面通量恒为 $0$ ，且存在向量势 $\vec{B}$ 使得 $\vec{A} = \nabla \times \vec{B}$ 。在向量管中满足通量守恒（强度不变）。

3. 调和场（Harmonic Field）#

定义：既无源又无旋的场，即满足：

$\operatorname{div} \vec{A} = 0, \quad \operatorname{rot} \vec{A} = \vec{0}$

数学特征：由于其无旋，必有 $\vec{A} = \nabla u$ ；代入无源条件，其势函数 $u$ 必满足 Laplace（拉普拉斯）方程：

$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$

六、重点习题与例题精选分析#

1. 奇点隔离法（挖洞法）—— 处理分母为 0 的奇点问题（例 8.3 & 例 8.9）#

当被积函数在区域内的某点（奇点）无定义时，无法直接套用格林公式或高斯公式。

解决方法：以该奇点为圆心（或球心），取一极小半径 $\epsilon$ ，做一小圆周（或小球面）将其隔离。在排除奇点后的复连通区域上应用定理。
经典结论：

* 平面涡旋源积分：若 $(C)$ 包围原点，则 $\oint_{(+C)} \frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2} = 2\pi$ 。

* 库仑电场通量（高斯定理）：若空间闭曲面 $(S)$ 包围点电荷 $q$ ，则通过该闭曲面的位移通量恒为：

$\oiint_{(S)} \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = q$

2. 非闭合曲线与曲面的“补线法”与“补面法”#

格林公式和高斯公式只适用于闭合曲线或曲面。若给定的积分路径不闭合，需通过“补线”或“补面”使其闭合，应用公式计算后，再扣除所补部分的积分值（需特别注意边界方向）。

3. 非闭合曲面积分应用高斯公式(例 8.7 (2))#

题目：计算 $I = \iint_{(S)} x^3 \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + y^3 \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + (z^3 + x^2 + y^2) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$ ，其中 $(S)$ 是上半球面 $z = \sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 的上侧。
解析：

1. 上半球面 $(S)$ 开放，需补面。

2. 补面：在 $xOy$ 平面上补平面圆盘 $(S_1): x^2+y^2 \le R^2, z=0$ 。为了与上半球组成闭合曲面外侧， $(S_1)$ 的法向量必须朝下（即 $\cos\gamma = -1$ ）。

3. 对闭合曲面 $(S \cup S_1)$ 应用高斯公式，围成的半球体记为 $(V_1)$ ：

$\oiint_{(S \cup S_1)} = \iiint_{(V_1)} \left( \frac{\partial(x^3)}{\partial x} + \frac{\partial(y^3)}{\partial y} + \frac{\partial(z^3+x^2+y^2)}{\partial z} \right) \mathrm{d}V$

$= \iiint_{(V_1)} 3(x^2+y^2+z^2) \mathrm{d}V = \frac{6}{5}\pi R^5 \quad \text{（利用球坐标易得）}$

4. 计算在补偿面 $(S_1)$ 上的积分：

在 $(S_1)$ 上， $z=0 \implies \mathrm{d}z = 0$ ，前两项投影微元含 $\mathrm{d}z$ 故积分为 $0$ 。第三项中由于曲面取下侧，需加负号：

$\iint_{(S_1)} = - \iint_{(\sigma_1)} (0 + x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = - \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{R}\rho^3\mathrm{d}\rho = -\frac{\pi R^4}{2}$

5. 还原原非闭合曲面值：

$\iint_{(S)} = \oiint_{(S \cup S_1)} - \iint_{(S_1)} = \frac{6}{5}\pi R^5 - \left( -\frac{\pi R^4}{2} \right) = \frac{6}{5}\pi R^5 + \frac{\pi R^4}{2}$

4. 利用路径无关性化简复杂积分（例 8.5）#

题目：计算线积分 $\int_{(C)} \cos(x+y^2)\mathrm{d}x + \left[ 2y\cos(x+y^2) - \frac{1}{\sqrt{1+y^4}} \right] \mathrm{d}y$ ，其中 $(C)$ 为摆线自 $O(0,0)$ 到 $A(2\pi a, 0)$ 的一段。
解析：

1. 验证偏导数：

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}[\cos(x+y^2)] = -2y\sin(x+y^2)$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left[2y\cos(x+y^2) - \frac{1}{\sqrt{1+y^4}}\right] = -2y\sin(x+y^2)$

由于偏导数处处相等，该线积分与路径无关。

2. 改道简化：用更简单的直线段 $OA$ 代替复杂的摆线 $(C)$ 。

在直线段 $OA$ 上， $y=0 \implies \mathrm{d}y=0$ ，自变量 $x$ 从 $0$ 变到 $2\pi a$ 。

3. 代入计算：

$\int_{(C)} = \int_{OA} = \int_{0}^{2\pi a} \cos(x+0) \mathrm{d}x = \sin(2\pi a)$

5. 星形线围成图形的面积（习题 6.8 A.3）#

题目：利用线积分计算星形线 $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ 所围图形的面积。
解析：

1. 引入星形线的参数方程： $x = a\cos^3 t, \, y = a\sin^3 t \quad (t \in [0, 2\pi])$ 。

2. 微元计算：

$\mathrm{d}x = -3a\cos^2 t \sin t \mathrm{d}t, \quad \mathrm{d}y = 3a\sin^2 t \cos t \mathrm{d}t$

3. 应用平面面积的格林公式线积分表示形式：

$A = \frac{1}{2} \oint_{(+C)} x \mathrm{d}y - y \mathrm{d}x$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left[ a\cos^3 t (3a\sin^2 t \cos t) - a\sin^3 t (-3a\cos^2 t \sin t) \right] \mathrm{d}t$

$= \frac{3}{2} a^2 \int_{0}^{2\pi} \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) \mathrm{d}t = \frac{3}{8} a^2 \int_{0}^{2\pi} \sin^2(2t) \mathrm{d}t = \frac{3}{8}\pi a^2$

6. 利用斯托克斯公式求空间闭曲线积分（习题 6.8 A.10 / 类似例题）#

题目：应用 Stokes 公式计算线积分 $\oint_{(C)} y \mathrm{d}x + z \mathrm{d}y + x \mathrm{d}z$ ，其中 $(C)$ 为圆周 $x^2+y^2+z^2=a^2, \, x+y+z=0$ 。从 $z$ 轴正向看去为逆时针方向。
解析：

1. 计算旋度：设 $\vec{A} = (y, z, x)$ ，

$\operatorname{rot} \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y & z & x \end{vmatrix} = (-1)\vec{i} + (-1)\vec{j} + (-1)\vec{k} = (-1, -1, -1)$

2. 确定法向量：圆周 $(C)$ 位于平面 $x+y+z=0$ 上。根据右手螺旋法则，当曲线 $(C)$ 取逆时针方向时，平面的法单位向量指向第一卦限，即：

$\vec{e}_n = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$

3. 应用斯托克斯公式：

$I = \iint_{(S)} \operatorname{rot} \vec{A} \cdot \vec{e}_n \mathrm{d}S = \iint_{(S)} (-1, -1, -1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) \mathrm{d}S$

$= \iint_{(S)} -\sqrt{3} \mathrm{d}S = -\sqrt{3} \cdot S_{\text{面积}}$

由于该圆周是大圆，其张成的圆盘面积为 $\pi a^2$ ，因此：

$I = -\sqrt{3}\pi a^2$

工科数学分析-第五章

高等代数下

第六章 多元函数积分学及其应用#

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质#

一、 核心概念与统一数学定义#