第五章 多元函数微分学及其应用#

1. 数量值函数#

•   定义 2.1 ($n$ 元数量值函数)

    设 $A \subseteq \mathbf{R}^n$ 是一个点集，映射 $f: A \to \mathbf{R}$ 称为定义在 $A$ 上的一个 $n$ 元数量值函数（简称 $n$ 元函数），记作：

    $w = f(\boldsymbol{x}) = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$

    其中：

    *   $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in A$ 称为自变量；

    *   $D(f) = A$ 称为定义域；

    *   $w$ 称为因变量；

    *   $R(f) = \{ w \mid w = f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in D(f) \}$ 称为值域。

    (二元函数通常记为 $z = f(x, y)$，三元函数常记为 $u = f(x, y, z)$)

2. 函数的几何表示法#

•   函数图像 (Graph)：二元函数 $z = f(x, y)$ 在空间直角坐标系中的图像为点集 $\text{Gr } f = \{ (x, y, z) \mid (x, y) \in A, z = f(x, y) \}$，通常在空间中表现为一张曲面。

•   等值线 (Contour Line / Level Curve)：对于二元函数 $z = f(x, y)$，曲线 $f(x, y) = C$（$C$ 为常数）表示 $xOy$ 平面上使函数值等于 $C$ 的点的轨迹。

•   等值面 (Level Surface)：对于三元函数 $u = f(x, y, z)$，曲面 $f(x, y, z) = C$（$C$ 为常数）表示空间中使函数值等于 $C$ 的点的轨迹。

3. 向量值函数#

•   定义 2.2 ($n$ 元向量值函数)

    设 $A \subseteq \mathbf{R}^n$ 是一个点集，映射 $\boldsymbol{f}: A \to \mathbf{R}^m\ (m \ge 2)$ 称为定义在 $A$ 上的一个 $n$ 元向量值函数，记作 $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$，其分量形式为：

    $y_i = f_i(x_1, x_2, \cdots, x_n), \quad i = 1, 2, \cdots, m$

    亦可写为列向量形式：

    $\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1(\boldsymbol{x}) \\ f_2(\boldsymbol{x}) \\ \vdots \\ f_m(\boldsymbol{x}) \end{pmatrix}$

1. 二重极限 (二元函数的极限)#

•   定义 2.3 (二重极限)

    设点集 $A \subseteq \mathbf{R}^2$，$f: A \to \mathbf{R}$ 是一个二元数量值函数，$(x_0, y_0)$ 是 $A$ 的一个聚点。若存在常数 $a \in \mathbf{R}$，使得：

    $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ 当 } (x, y) \in \mathring{U}((x_0, y_0), \delta) \cap A \text{ 时，恒有 } |f(x, y) - a| < \varepsilon$

    则称当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时，$f(x, y)$ 有极限，且其极限为 $a$，记作：

    $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = a \quad \text{或} \quad \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x, y) = a$

2. 多元函数极限的推广#

•   $n$ 元数量值函数的极限：

    若对聚点 $\boldsymbol{x}_0 \in \mathbf{R}^n$，满足 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得当 $\boldsymbol{x} \in \mathring{U}(\boldsymbol{x}_0, \delta) \cap A$ 时，恒有 $|f(\boldsymbol{x}) - a| < \varepsilon$，则 $\lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{x}_0} f(\boldsymbol{x}) = a$。

•   $n$ 元向量值函数的极限：

    若 $\lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{x}_0} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{a}$（其中 $\boldsymbol{a} = (a_1, \cdots, a_m)^T$），其充要条件是各分量函数极限同时存在，即：

    $\lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{x}_0} f_k(\boldsymbol{x}) = a_k, \quad k = 1, 2, \cdots, m$

1. 连续性的定义#

•   定义 2.4 (二元连续函数)

    设二元数量值函数 $f(x, y)$ 定义在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域 $U(x_0, y_0)$ 内。若：

    $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$

    则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续；否则，称在该点处间断。

    (若 $f$ 在区域 $D$ 内的每一点都连续，则称 $f$ 是 $D$ 内的连续函数。)

•   边界点连续性推广：若 $(x_0, y_0)$ 为 $D$ 的边界点 $\partial D$，则要求在定义域相交部分满足极限条件：

    $\lim_{\substack{(x,y) \to (x_0,y_0) \\ (x,y) \in D}} f(x, y) = f(x_0, y_0)$

2. 连续函数的代数与复合运算#

•   代数运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。

•   定理 C (复合函数的连续性 - 见第17页手写部分)

    设 $u = \varphi(x, y)$ 和 $v = \psi(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处连续。若 $z = f(u, v)$ 在点 $Q_0(u_0, v_0)$（其中 $u_0 = \varphi(x_0, y_0), v_0 = \psi(x_0, y_0)$）的某邻域内有定义且在该点处连续，则复合函数：

    $g(x, y) = f(\varphi(x, y), \psi(x, y))$

    在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处亦连续。

重难点一：二重极限与累次极限的区别#

•   概念差异：

    *   二重极限 $\lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x, y) = a$ 要求点 $(x, y)$ 以任何可能的方式和路径趋于 $(x_0, y_0)$ 时，函数值都趋于同一个常数 $a$。

    *   累次极限 $\lim_{x \to x_0} \left( \lim_{y \to y_0} f(x, y) \right)$ 和 $\lim_{y \to y_0} \left( \lim_{x \to x_0} f(x, y) \right)$ 则是指先后对单个自变量求极限。

•   关系：

    二重极限存在，且累次极限的单步极限存在时，二重极限必等于累次极限。但它们没有必然的双向因果关系：

    1.  累次极限存在且相等，二重极限不一定存在。

    2.  二重极限存在，累次极限不一定存在（例如其中某一单步极限不存在）。

重难点二：如何判断二重极限不存在？（路径法）#

这是多元函数极限判定中最核心的题型。要证明极限 $\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x, y)$ 不存在，常用的方法是寻找不同的趋近路径，若沿不同路径得到的极限值不同，则二重极限不存在。

重难点三：二元连续、一元连续与“偏连续”的关系#

根据教材第17页顶部的批注：

$f(x, y) \text{ 在 } (x_0, y_0) \text{ 连续 } \Longrightarrow f(x, y) \text{ 对 } x \text{ 在 } x=x_0 \text{ 连续, 且对 } y \text{ 在 } y=y_0 \text{ 连续 (即一元连续/偏连续)}$

•   单向性（不可逆）：

    即使函数 $f(x,y)$ 分别关于 $x$ 连续（固定 $y$）且分别关于 $y$ 连续（固定 $x$），它在 $(x_0, y_0)$ 处也可能不连续。

•   经典反例（见手写批注）：

    $f(x, y) = \begin{cases} 1, & xy \neq 0 \\ 0, & xy = 0 \end{cases}$

    *   在原点 $(0,0)$ 处，若固定 $y=0$（或 $x=0$），一元函数 $f(x, 0) = 0$ 显然是连续的；

    *   但是从任意非坐标轴方向（如 $y=x \neq 0$）趋近原点时，函数值恒为 $1$。由于 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在（或不等于 $f(0,0)=0$），故它在原点不连续。

重难点四：有界闭区域上连续函数性质的条件#

定理2.1至2.3的结论非常优美，但其成立的前提条件必须同时满足：

1.  区域必须是“有界”的；

2.  区域必须是“闭”的（包含边界）。

•   若去掉“有界”条件：例如 $f(x) = x$ 在无界闭区间 $[0, +\infty)$ 上连续，但它显然没有最大值，不满足有界性。

•   若去掉“闭”条件：例如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在有界开区间 $(0, 1)$ 上连续，但当 $x \to 0^+$ 时， $f(x) \to +\infty$，在定义域内同样无界。

1. 偏导数的定义#

•   定义 3.1 (偏导数 - Partial Derivative)

    设二元函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域 $U(x_0, y_0)$ 内有定义。

    *   对 $x$ 的偏导数：若极限

        $f_x(x_0, y_0) = \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0, y_0)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

        存在，则称此极限值为函数在该点对 $x$ 的偏导数。

    *   对 $y$ 的偏导数：若极限

        $f_y(x_0, y_0) = \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0, y_0)} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$

        存在，则称此极限值为函数在该点对 $y$ 的偏导数。

    (偏导数计算的实质：求对 $x$ 的偏导数时，将 $y$ 暂看作常数；求对 $y$ 的偏导数时，将 $x$ 暂看作常数。)

2. 偏导数的几何意义#

•   $f_x(x_0, y_0)$ 表示空间曲面 $z = f(x, y)$ 与平面 $y = y_0$ 的交线在点 $M(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处切线的斜率（$\tan \alpha$）。

•   $f_y(x_0, y_0)$ 表示该曲面与平面 $x = x_0$ 的交线在点 $M$ 处切线的斜率（$\tan \beta$）。

1. 全微分的定义#

•   定义 3.2 (全微分 - Total Differential)

    设二元函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处有定义，其自变量增量为 $\Delta x$ 和 $\Delta y$，函数全增量为 $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)$。若 $\Delta z$ 可表示为：

    $\Delta z = a_1 \Delta x + a_2 \Delta y + o(\rho)$

    其中 $a_1, a_2$ 是与 $\Delta x, \Delta y$ 无关的常数，且 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$。

    则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，而线性主部 $a_1 \Delta x + a_2 \Delta y$ 称为该点处的全微分，记作：

    $\text{d}z = a_1 \text{d}x + a_2 \text{d}y \quad (\text{其中已令 } \text{d}x = \Delta x, \text{d}y = \Delta y)$

2. 可微的必要条件与充分条件#

•   定理 3.1 (可微的必要条件)

    若函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则：

    1.  $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处必连续；

    2.  $f(x, y)$ 在该点处的两个偏导数必存在，且全微分为：

        $\text{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y$

•   定理 3.2 (可微的充分条件)

    设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有偏导数。若偏导数 $f_x(x, y)$ 与 $f_y(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，则该函数在点 $(x_0, y_0)$ 处可微。

1. 方向导数#

•   定义 3.3 (方向导数 - Directional Derivative)

    设 $\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{l}} = (\cos \alpha, \cos \beta)$ 为方向 $\boldsymbol{l}$ 的单位向量。若极限

    $\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{\boldsymbol{x}_0} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t\cos \alpha, y_0 + t\cos \beta) - f(x_0, y_0)}{t}$

    存在，则称其为 $f$ 在该点沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数。

•   定理 3.3 (计算公式)：若 $f(x, y)$ 可微，则沿任意方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数必存在，且：

    $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} = f_x(x_0, y_0)\cos \alpha + f_y(x_0, y_0)\cos \beta$

2. 梯度#

•   定义 3.4 (梯度 - Gradient)

    若存在一个向量，其方向为函数在该点取得方向导数最大值的方向，其模等于这个最大值，则称该向量为函数的梯度，记作：

    $\text{grad } f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)\boldsymbol{i} + f_y(x_0, y_0)\boldsymbol{j} = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

•   方向导数与梯度的内在关系：

    $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} = \langle \nabla f, \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{l}} \rangle = \|\nabla f\| \cos \theta$

    *   当 $\theta = 0$（沿梯度方向）时，方向导数取得最大值 $\|\nabla f\|$（函数增加最快）；

    *   当 $\theta = \pi$（沿负梯度方向）时，方向导数取得最小值 $-\|\nabla f\|$（函数减少最快）；

    *   当 $\theta = \frac{\pi}{2}$（沿等值线切线方向）时，方向导数为 $0$（函数值保持不变）。

1. 高阶偏导数与二阶混合偏导数#

二元函数有四个二阶偏导数：$f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$。其中 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 称为混合偏导数。

•   定理 (混合偏导数相等定理 - 见第44页)

    若二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在某区域内连续，则在该区域内恒有：

    $f_{xy} = f_{yx}$

2. 高阶全微分#

若各阶偏导数连续，二阶全微分形式可表示为：

$\text{d}^2 u = f_{xx}\text{d}x^2 + 2f_{xy}\text{d}x\text{d}y + f_{yy}\text{d}y^2 = \left( \frac{\partial}{\partial x}\text{d}x + \frac{\partial}{\partial y}\text{d}y \right)^2 f$

一般地， $n$ 阶全微分为：

$\text{d}^n u = \left( \frac{\partial}{\partial x}\text{d}x + \frac{\partial}{\partial y}\text{d}y \right)^n f$

1. 复合函数求导（链式法则 - Chain Rule）#

•   定理 3.5：设 $u = u(x, y), v = v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，且 $z = f(u, v)$ 在对应点处可微，则复合函数 $z = f[u(x, y), v(x, y)]$ 的偏导数为：

    $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

    $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

•   一阶全微分形式不变性：无论 $u, v$ 是自变量还是中间变量，一阶全微分的形式始终保持一致：

    $\text{d}z = \frac{\partial z}{\partial u}\text{d}u + \frac{\partial z}{\partial v}\text{d}v$

    (注意：高阶全微分不具备形式不变性)

2. 隐函数存在定理与求导公式#

•   定理 3.6 (二元隐函数定理)：由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的隐函数 $y = f(x)$，若 $F$ 连续可偏导且 $F_y \neq 0$，则：

    $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\frac{F_x}{F_y}$

•   三元隐函数定理：由方程 $F(x, y, z) = 0$ 确定的隐函数 $z = z(x, y)$，在 $F_z \neq 0$ 处偏导数为：

    $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

难点一：四大关系（连续、可偏导、可微、偏导连续）的逻辑框架#

这是整个多元微分学最经典、期末与考研最核心的概念辨析考点。

难点二：判断分段函数在分界点处“可微性”的解题三步法#

对于分段函数在分界点 $(x_0, y_0)$ 处的性质判定，切忌直接套用求导公式，必须采用定义法按步骤执行：

•   第一步：检查连续性

    计算极限 $\lim_{(x,y)\to(x_0, y_0)} f(x, y)$ 是否等于 $f(x_0, y_0)$。如果不连续，直接判定不可微。

•   第二步：用定义法求偏导数

    计算 $f_x(x_0, y_0)$ 和 $f_y(x_0, y_0)$。若有任何一个极限不存在，直接判定不可微。

•   第三步：全微分定义法检验

    列出全微分定义误差项极限：

    $\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) - \left[ f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y \right]}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}$

    *   若此极限等于 $0$，则函数在该点可微；

    *   若极限不为 $0$ 或不存在，则函数在该点不可微。

难点三：复合函数高阶偏导数的“树形图法”#

求复合函数高阶偏导数（如 $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$）时极易漏项。推荐使用树形图法分析依赖关系：

•   步骤一：画出关系树，如自变量 $x, y \to$ 中间变量 $u, v \to$ 因变量 $z$。

•   步骤二：求一阶偏导，沿路径向下乘，分叉相加。

•   步骤三（最易出错）：求二阶偏导时，注意一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 仍然是含有中间变量 $u, v$ 的复合函数。对它们求偏导时，必须再次套用链式法则展开。

    (参考第49页例3.20的详细解法，深刻体会 $f_1, f_2$ 再次对 $y$ 求导时展开为含有 $f_{11}, f_{12}$ 等二阶项的过程。)

难点四：全微分形式不变性在隐函数全微分求解中的妙用#

对于隐函数方程 $F(x, y, z) = 0$，常规方法是使用公式求出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 后再写出 $\text{d}z$。

但在实际计算中（如第54页例3.23的“解法二”），直接对两端同时施加全微分算子 $\text{d}$ 更加高效、简便且不易错：

•   方法演示（例 3.24）：

    方程 $xyz + \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{2}$，求在 $(1,0,-1)$ 处的 $\text{d}z$。

    *   解：两端求全微分，由微分运算法则直接得：

        $(yz\text{d}x + xz\text{d}y + xy\text{d}z) + \frac{x\text{d}x + y\text{d}y + z\text{d}z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = 0$

    *   将已知点 $x=1, y=0, z=-1$ 代入上式化简：

        $(-\text{d}y) + \frac{\text{d}x - \text{d}z}{\sqrt{2}} = 0 \Longrightarrow \text{d}z = \text{d}x - \sqrt{2}\text{d}y$

    此法无需单独求解复杂的偏导数分式，大幅提升了解题速度。

1. 二元带 Lagrange 余项的一阶 Taylor 公式#

•   定理 4.1：设二元函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域 $U(x_0, y_0)$ 内有连续的二阶偏导数。若 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \in U(x_0, y_0)$，则存在 $\theta \in (0, 1)$，使得：

    $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y + R_1$

    其中 Lagrange 余项 $R_1$ 为：

    $R_1 = \left.\frac{1}{2!} (f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x\Delta y + f_{yy}\Delta y^2)\right|_{(x_0+\theta\Delta x, y_0+\theta\Delta y)}$

2. 矩阵形式（Hesse 矩阵与多元 Taylor 公式）#

为了将 Taylor 公式推广到 $n$ 元函数，引入梯度向量 $\nabla f$ 和 Hesse 矩阵（海塞矩阵） $\boldsymbol{H}_f$：

$\boldsymbol{H}_f(\boldsymbol{x}) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} \quad (\text{以二元为例})$

设自变量增量列向量为 $\boldsymbol{\Delta x} = (\Delta x, \Delta y)^T$，则带有 Peano 余项的二阶 Taylor 公式可写为：

$f(\boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{\Delta x}) = f(\boldsymbol{x}_0) + \langle \nabla f(\boldsymbol{x}_0), \boldsymbol{\Delta x} \rangle + \frac{1}{2!} \boldsymbol{\Delta x}^T \boldsymbol{H}_f(\boldsymbol{x}_0) \boldsymbol{\Delta x} + o(\|\boldsymbol{\Delta x}\|^2)$

1. 无约束极值的定义#

•   定义 4.2：设函数 $f: U(\boldsymbol{x}_0) \subseteq \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$。若对该邻域内任意 $\boldsymbol{x}$，恒有：

    $f(\boldsymbol{x}) \le f(\boldsymbol{x}_0) \quad (\text{或 } f(\boldsymbol{x}) \ge f(\boldsymbol{x}_0))$

    则称 $f(\boldsymbol{x}_0)$ 为 $f(\boldsymbol{x})$ 的极大值（或极小值）。满足该性质的点 $\boldsymbol{x}_0$ 称为极值点。

2. 极值的必要条件与充分条件#

•   定理 4.3 (极值的必要条件)

    若 $n$ 元可微函数 $f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 处取得极值，则在该点处的梯度必为零向量，即：

    $\nabla f(\boldsymbol{x}_0) = \boldsymbol{0}$

    满足 $\nabla f(\boldsymbol{x}_0) = \boldsymbol{0}$ 的点 $\boldsymbol{x}_0$ 称为 驻点 (Stationary Point)。

    (注意：驻点不一定是极值点，例如鞍点 $z = x^2 - y^2$ 处的 $(0,0)$。)