无穷级数#

1. 柯西收敛原理的应用#

• 理论分析难点：在证明级数敛散性时，当无法直接求出部分和 $S_n$ 的极限，且一般判别法不易使用时，需要回到柯西收敛原理定义。

• 典型例题（例 1.5 与 习题10）：利用不等式放缩。证明 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛时，通过放缩项之和：

  $\frac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+p)^2} < \frac{1}{n(n+1)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+p} < \frac{1}{n} < \varepsilon$

  从而确定 $N = \left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$。

2. 比值法和根值法失效（即极限 $\lambda = 1$）的处理#

• 级数的通项中只含有幂函数、代数分式或对数函数时（例如 $\sum \frac{1}{n^p}$），求极限得到的比值和根值通常为 $1$。此时绝不能直接得出收敛或发散的结论，必须采用比较审敛法（与 $p$-级数作比较）或积分审敛法。

3. 比较审敛法中“等价无穷小”与“泰勒公式（Taylor）展开”的联合运用#

在极限形式比较法中，通项中常含有三角函数、反三角函数、对数、指数函数。利用等价无穷小和泰勒公式展开确定通项关于 $\frac{1}{n}$ 的阶数是解题的核心技巧。

• 例 1.7 (2)：判断 $\sum \left[ \frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right]$ 的敛散性。

  通项中含有对数项，利用泰勒公式展开：

  $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$

  代入得通项 $a_n = \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$。因此 $a_n \sim \frac{1}{2n^2} \ (n \to \infty)$。由于 $p=2 > 1$ 的 $p$-级数收敛，原级数收敛。

4. 条件收敛与绝对收敛的判定细节及“拆项法”#

判定变号级数的步骤通常为：先考查 $\sum |a_n|$ 是否收敛（若收敛则绝对收敛）；若 $\sum |a_n|$ 发散，再考查原级数是否满足莱布尼茨判别法（若收敛则条件收敛）。

• 经典易错点（例 1.13 & 习题 12-16）：

  在处理形式类似 $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n^p + (-1)^{n-1}}$ 的级数时，不能直接套用莱布尼茨判别法（因为分母含有变号项，不一定严格单调递减）。

  解题技巧：拆项法（泰勒/代数恒等变形）

  将其化为：

  $\frac{(-1)^{n-1}}{n^p + (-1)^{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}(n^p - (-1)^{n-1})}{n^{2p} - 1} = \frac{(-1)^{n-1}n^p}{n^{2p} - 1} - \frac{1}{n^{2p} - 1}$

  或者利用等价分解：

  $\frac{(-1)^{n-1}}{n^p + (-1)^{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{n^p} \left( 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{n^p} \right)^{-1} = \frac{(-1)^{n-1}}{n^p} - \frac{1}{n^{2p}} + o\left(\frac{1}{n^{2p}}\right)$

  将原级数拆成一个交错级数与一个正项级数（或其余项）的和，分别判定两部分的敛散性，进而确定整个级数的敛散性。

5. 常见审敛法综合选择优先级#

为了提高解题效率，通常建议遵循以下判别顺序：

1. 必要条件检验：先观察 $\lim a_n$ 是否为 0。若不为 0，直接判定发散；

2. 通项类型识别：

   * 含有 $n!$（阶乘）或 $a^n$（指数型）：首选比值审敛法；

   * 含有 $n$ 次方幂：首选根值审敛法；

   * 含有代数分式、根式、三角函数：首选极限比较审敛法（与 $p$-级数比较）；

   * 含有 $n \ln n$ 形式：首选积分审敛法；

   * 含有交错符号 $(-1)^n$：首选先看绝对收敛性，若不绝对收敛，再利用莱布尼茨判别法或拆项分析法判定条件收敛性。

1. 函数项级数的逐点收敛（处处收敛）#

设一列定义在同一集合 $A \subseteq \mathbb{R}$ 上的函数 $\{u_n(x)\}$，将其各项依次用加号联结起来的表达式：

$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x) + \cdots \quad (2.1)$

称为集合 $A$ 上的函数项级数。

• 部分和：$S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} u_k(x)$。

• 收敛点与发散点：对于确定的 $x_0 \in A$，若常数项级数 $\sum u_n(x_0)$ 收敛，则称 $x_0$ 为级数的收敛点；否则称为发散点。

• 收敛域 $D$：全体收敛点构成的集合。

• 和函数 $S(x)$：在收敛域 $D$ 上，定义 $S(x) = \lim_{n \to \infty} S_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$。

• 余项：$R_n(x) = S(x) - S_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x)$，且 $\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \quad (x \in D)$。

2. 一致收敛性（定义 2.2）#

• 引入动机：逐点收敛（即 $\lim_{n \to \infty} S_n(x) = S(x)$ 逐点成立）是一个相对较弱的极限过程。每个点 $x$ 达到极限所需的部分和项数 $N$ 往往与 $x$ 有关，即 $N = N(\varepsilon, x)$。这导致级数项的分析性质（如连续性、可导性、可积性）在求和后无法保证继续保持（见下文例 2.2 的反例）。因此，需要引入一致收敛的概念。

• 定义：设级数 $\sum u_n(x)$ 在集合 $D$ 上收敛于 $S(x)$。若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在一个只与 $\varepsilon$ 有关而与 $x$ 无关的正整数 $N(\varepsilon)$，使得当 $n > N(\varepsilon)$ 时，对一切 $x \in D$，恒有：

  $\left| S_n(x) - S(x) \right| < \varepsilon \quad (2.4)$

  则称级数 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S(x)$。

• 几何意义：对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，当 $n > N(\varepsilon)$ 时，部分和函数 $y = S_n(x)$ 的图像全部落在以和函数 $y = S(x)$ 为对称轴、宽为 $2\varepsilon$ 的带状区域内。

1. 定义法 / 余项极限法#

通过计算最大偏差来判断：

$d_n = \sup_{x \in D} \left| S_n(x) - S(x) \right| = \sup_{x \in D} \left| R_n(x) \right|$

级数 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S(x)$ 的充要条件是：

$\lim_{n \to \infty} d_n = 0$

2. 柯西（Cauchy）一致收敛原理 (定理 2.1)#

函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是：

对任意 $\varepsilon > 0$，存在只与 $\varepsilon$ 有关的正整数 $N(\varepsilon)$，使得当 $n > N(\varepsilon)$ 时，对任意正整数 $p$ 以及一切 $x \in D$，恒有：

$\left| S_{n+p}(x) - S_n(x) \right| = \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x) \right| < \varepsilon \quad (2.5)$

3. 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）$M$ 判别法（优级数判别法，定理 2.2）#

若存在一个收敛的正项常数级数 $\sum M_n$，使得对于一切 $x \in D$ 和正整数 $n$，恒有：

$\left| u_n(x) \right| \le M_n$

则级数 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。

• 注：魏尔斯特拉斯 $M$ 判别法是判断一致收敛最常用、最有效的充分条件，它不仅保证了一致收敛，还蕴含了绝对收敛。

1. 和函数的连续性 (定理 2.3)#

若级数 $\sum u_n(x)$ 的各项 $u_n(x)$ 在区间 $I$ 上连续，且级数在 $I$ 上一致收敛于 $S(x)$，则和函数 $S(x)$ 也在 $I$ 上连续。

• 性质体现（极限符号与求和符号的可交换性）：

  $\lim_{x \to x_0} \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{x \to x_0} u_n(x) \quad (2.9)$

2. 逐项积分定理（和函数的可积性，定理 2.4）#

若各项 $u_n(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且级数在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $S(x)$，则和函数 $S(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且有：

$\int_a^b S(t) dt = \int_a^b \left( \sum_{n=1}^{\infty} u_n(t) \right) dt = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(t) dt \quad (2.10)$

• 性质体现：积分符号与求和符号可以交换次序。

3. 逐项求导定理（和函数的可导性，定理 2.5）#

设各项 $u_n(x)$ 在区间 $I$ 上具有连续导数 $u_n'(x)$。若：

1. 级数 $\sum u_n(x)$ 在 $I$ 上至少有一点收敛（通常在 $I$ 上处处收敛于 $S(x)$）；

2. 导数级数 $\sum u_n'(x)$ 在 $I$ 上一致收敛于 $\sigma(x)$；

则原级数的和函数 $S(x)$ 在 $I$ 上可导，且有：

$S'(x) = \left( \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} u_n'(x) = \sigma(x) \quad (2.11)$

• 性质体现：求导符号与求和符号可以交换次序。

• 注意：应用此定理时，必须要求导数级数 $\sum u_n'(x)$ 一致收敛，而对原级数的一致收敛性没有直接要求（只需收敛即可）。

1. 逐点收敛但不一致收敛的经典反例（例 2.2 / 例 2.4）#

• 例题级数：$x + (x^2 - x) + (x^3 - x^2) + \dots + (x^n - x^{n-1}) + \dots$

• 分析：

  * 部分和为 $S_n(x) = x^n$。

  * 在区间 $(-1, 1]$ 上逐点收敛，和函数为：

    $S(x) = \begin{cases} 0, & |x| < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$

  * 各项 $u_n(x)$ 在 $x=1$ 处连续，但和函数 $S(x)$ 在 $x=1$ 处不连续。

  * 根据定理 2.3 的逆否命题，该级数在包含 $x=1$ 的区间上（如 $(-1, 1]$）必定不一致收敛。

2. 如何否定级数的一致收敛性#

否定一致收敛性通常有两种方法：

1. 反证法（连续性）：若各项连续，但和函数不连续，则必不一致收敛（如上例）。

2. 否定定义法（寻找特殊点列，例 2.4）：

   要证明在 $D$ 上不一致收敛，只需证明：存在 $\varepsilon_0 > 0$，对任意正整数 $N$，存在 $n > N$ 及 $x_n \in D$，使得：

   $\left| S_n(x_n) - S(x_n) \right| \ge \varepsilon_0$

   * 在例 2.4 中，在区间 $(-1, 1]$ 上，$S_n(x) = x^n$，$S(x) = 0 \ (x \in (-1, 1))$。

   * 构造特殊点列：取 $x_n = \frac{1}{\sqrt[n]{2}} \in (0, 1)$，则：

     $\left| S_n(x_n) - S(x_n) \right| = \left( \frac{1}{\sqrt[n]{2}} \right)^n - 0 = \frac{1}{2}$

     取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，对任意 $n$，在该点处偏差恒为 $\frac{1}{2}$，故级数在 $(-1, 1]$ 上不一致收敛。

3. 利用基本不等式进行一致收敛证明 (例 2.3)#

• 例题级数部分和：$S_n(x) = \frac{x}{1+n^2 x^2}$，和函数 $S(x) = 0$（在 $[0,1]$ 上）。

• 证明技巧：利用均值不等式（$a^2 + b^2 \ge 2ab$）放缩分母。

  $\left| S_n(x) - S(x) \right| = \frac{x}{1+n^2 x^2} \le \frac{x}{2nx} = \frac{1}{2n}$

  偏差被一个与 $x$ 无关且趋于 0 的数列 $\frac{1}{2n}$ 控制，因此在该闭区间上一致收敛。

4. Weierstrass $M$ 判别法的构造技巧 (例 2.5 / 例 2.6)#

• 三角函数型（例 2.5）：

  对于级数 $\sum \frac{\sin nx}{n^2}$，利用绝对值放缩：

  $\left| \frac{\sin nx}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2}$

  由于 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，取优级数通项 $M_n = \frac{1}{n^2}$ 即可。

• 指数型与区间边界选择（例 2.6）：

  对于级数 $\sum n e^{-nx}$，在 $x \in [0, +\infty)$ 上由于 $x=0$ 处极限不为零，整体无法一致收敛。但限制在 $[\delta, +\infty) \ (\delta > 0)$ 上时：

  $\left| n e^{-nx} \right| \le n e^{-n\delta} \quad (\text{因 } e^{-nx} \text{ 随 } x \text{ 递减})$

  设 $M_n = n e^{-n\delta}$。用比值法判定常数级数 $\sum M_n$：

  $\lim_{n \to \infty} \frac{M_{n+1}}{M_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} e^{-\delta} = e^{-\delta} < 1 \quad (\delta > 0)$

  该常数级数收敛，因此级数在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛。这表明：不一致收敛的级数，往往可以通过收缩区间（如去掉问题边界点）使其一致收敛。

1. 幂级数的定义#

形如：

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots \quad (3.1)$

或以 $x_0$ 为中心的：

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + \cdots + a_n (x-x_0)^n + \cdots \quad (3.2)$

的函数项级数称为幂级数。其中常数 $a_n$ 称为幂级数的系数。通过代换 $u = x - x_0$，式 (3.2) 可以化为 (3.1) 的标准形式。

2. 阿贝尔（Abel）定理 (定理 3.1)#

阿贝尔定理是研究幂级数收敛性的基本定理：

1. 若幂级数 $\sum a_n x^n$ 在点 $x_0 \neq 0$ 处收敛，则对于满足 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$，该级数绝对收敛；

2. 若幂级数 $\sum a_n x^n$ 在点 $\tilde{x}_0$ 处发散，则对于满足 $|x| > |\tilde{x}_0|$ 的一切 $x$，该级数发散。

• 阿贝尔定理的证明思路（Image 1）：

  若 $\sum a_n x_0^n$ 收敛，则通项极限为 0，即 $\{a_n x_0^n\}$ 是有界数列（存在 $M>0$ 使得 $|a_n x_0^n| \le M$）。对于任何满足 $|x| < |x_0|$ 的 $x$，做如下变形：

  $|a_n x^n| = \left| a_n x_0^n \cdot \left( \frac{x}{x_0} \right)^n \right| \le M \left| \frac{x}{x_0} \right|^n$

  因公比 $q = \left| \frac{x}{x_0} \right| < 1$，几何级数 $\sum M q^n$ 收敛。根据正项级数的比较审敛法，$\sum a_n x^n$ 绝对收敛。第(2)部分用反证法易证。

1. 收敛半径与区间 (定理 3.2)#

根据阿贝尔定理，任意幂级数的敛散性仅有以下三种可能：

1. 处处收敛：在全体实数 $\mathbb{R}$ 上绝对收敛（规定收敛半径 $R = +\infty$，收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$）；

2. 仅在原点收敛：仅在 $x=0$ 处收敛（规定收敛半径 $R = 0$）；

3. 介于两者之间：存在一个正数 $R > 0$，使得当 $|x| < R$ 时级数绝对收敛，当 $|x| > R$ 时级数发散。

   * 收敛半径 $R$：上述正数 $R$。

   * 收敛区间：开区间 $(-R, R)$。

   * 收敛域：收敛区间 $(-R, R)$ 加上可能收敛的端点 $x = \pm R$。（注意：必须对端点单独带入原级数进行敛散性判定）。

2. 收敛半径的计算公式 (达朗贝尔与柯西-哈达玛公式)#

• 比值法公式 (定理 3.3)：设 $a_n \neq 0$，若极限 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = L$（$L$ 可以为 $0$ 或 $+\infty$），则收敛半径：

  $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \quad (3.3)$

• 根值法公式 (定理 3.4)：若极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} = L$（$L$ 可以为 $0$ 或 $+\infty$），则收敛半径：

  $R = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} \quad (3.5)$

• 重要补充：缺项幂级数的处理（Image 5 - 例 3.2）

  若幂级数中有无穷多项系数为 0（例如只有偶次方项 $\sum a_{2n} x^{2n}$），不能直接应用公式 (3.3) 或 (3.5)。此时应将 $u_n(x)$ 作为整体，直接用常数项级数的比值法或根值法计算：

  $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| < 1$

  解出 $x$ 的范围即可确定收敛区间与半径。

1. 代数运算性质 (定理 3.5)#

设 $\sum a_n x^n$ 与 $\sum b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $R_1$ 与 $R_2$，记 $R = \min(R_1, R_2)$。在公共收敛区间 $(-R, R)$ 内有：

• 线性性质：$\alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + \beta \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha a_n + \beta b_n) x^n$

• 乘积性质（柯西乘积）：

  $\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n, \quad \text{其中 } c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0$

2. 内闭一致收敛性 (定理 3.6)#

若幂级数 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径 $R > 0$，则在收敛区间 $(-R, R)$ 内的任何闭子区间 $[a, b]$ 上，该级数一致收敛。

3. 分析运算性质 (定理 3.7)#

设幂级数 $\sum a_n x^n$ 的和函数为 $S(x)$，收敛半径为 $R > 0$：

1. 连续性：和函数 $S(x)$ 在开区间 $(-R, R)$ 内连续。

2. 逐项求导：$S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内可导，且其导数等于各项导数之和：

   $S'(x) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \quad (3.6)$

   求导后的新级数与原级数具有相同的收敛半径。

3. 逐项积分：$S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内可积，且：

   $\int_0^x S(t) dt = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \right) dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \quad (3.7)$

   积分后的新级数与原级数具有相同的收敛半径。

1. 泰勒（Taylor）级数与麦克劳林（Maclaurin）级数#

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内可以展开，则其系数 $a_n$ 是唯一的，必然满足：

$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \quad (n=0,1,2,\cdots)$

对应的级数：

$f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \quad (3.11)$

称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数。当 $x_0 = 0$ 时，称为麦克劳林级数。

2. 展开的充要条件与充分条件#

• 充要条件 (定理 3.8)：$f(x)$ 能展开成泰勒级数的充要条件是其泰勒公式的余项 $R_n(x)$ 的极限为 0：

  $\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$

• 常用充分条件 (推论 3.1)：若 $f(x)$ 的各阶导数在区间 $(x_0 - R, x_0 + R)$ 内一致有界（即存在 $K>0$，使 $|f^{(n)}(x)| \le K$ 对一切 $n$ 成立），则在该区间内 $f(x)$ 必能展开为其泰勒级数。

3. 五种基本初等函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式#

在解题中，这五个公式是间接展开法的最基础工具，必须熟练掌握：

| 函数 $f(x)$ | 麦克劳林展开式 | 收敛区间 / 收敛域 |

| :--- | :--- | :--- |

| $e^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ |

| $\sin x$ | $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ |

| $\cos x$ | $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ |

| $\ln(1+x)$| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ | $(-1, 1]$ |

| $(1+x)^\alpha$ | $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \cdots$ | $(-1, 1)$ |

1. 求幂级数和函数的常用策略（Image 7 - 例 3.3/3.4）#

求和函数时，基本目标是通过逐项求导或逐项积分，将复杂的通项转化为易求和的几何级数通项，求和后再进行逆向的积分或求导运算。

• 逐项积分求和法 (例 3.3)：

  求 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}$。令 $S(x)$ 为其和。求导得：

  $S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1+x} \quad (|x| < 1)$

  两端积分（注意初值 $S(0)=0$）：

  $S(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t} dt = \ln(1+x)$

  在端点 $x=1$ 处由阿贝尔极限定理，和依然为 $\ln 2$，故收敛域为 $(-1, 1]$。

• 逐项求导求和法 (例 3.4)：

  求 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$。将 $x$ 提出，使通项出现导数形式：

  $S(x) = x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = x \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)' = x \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \frac{x}{(1-x)^2} \quad (|x| < 1)$

2. 间接展开法的应用技巧 (Image 12 - 例 3.6/3.7)#

• 裂项法（例 3.6）：

  将有理分式展开成幂级数时，先用**部分分式法（裂项）**化为几个 $\frac{A}{1-kx}$ 的形式，再分别套用几何级数展开式。

• 先导后积法（例 3.7）：

  求 $f(x) = \arctan x$ 的展开式。直接求导：

  $f'(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \quad (|x| < 1)$

  两端积分（$f(0)=0$）：

  $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad (|x| < 1)$

3. 欧拉（Euler）公式的推导与复变数推广 (Image 16/17)#

通过在复数域内对 $e^z$ 定义幂级数，代入 $z = ix$ 并利用绝对收敛级数的重排性质，分离实部和虚部：

$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \cdots \right) = \cos x + i \sin x$

由此得到著名的欧拉公式，并可反解出三角函数的指数复数表示：

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

4. 幂级数的近似计算应用 (Image 14 - 例 3.8/3.9)#

• 加速收敛法（例 3.8）：

  计算 $\ln 2$ 时，直接代入 $\ln(1+x)$ 的展开式由于 $x=1$ 时收敛极慢，需要计算上万项。

  改用公式：

  $\ln\frac{1+x}{1-x} = 2 \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots \right)$

  令 $\frac{1+x}{1-x} = 2 \implies x = \frac{1}{3}$。由于公比为 $\frac{1}{9}$ 极小，级数收敛速度极快，只需前4项即可达到 $10^{-4}$ 的精度。

1. 三角级数的一般形式#

三角级数是研究周期性物理现象的基本数学工具，其一般形式为：

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \quad (4.1)$

其中系数 $a_0, a_n, b_n \ (n=1,2,\dots)$ 均为常数。

2. 三角函数系的正交性 (核心理论基础)#

组成三角级数的函数系：

$\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots, \cos nx, \sin nx, \dots\}$

在区间 $[-\pi, \pi]$ 上具有正交性。即在该函数系中，任意两个不同函数的乘积在 $[-\pi, \pi]$ 上的积分等于 0，而相同函数的平方积分不等于 0。具体积分公式如下：

• $\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, dx = 0, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \, dx = 0 \quad (n \ge 1)$

• $\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx = 0 \quad (m \neq n)$

• $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx = 0 \quad (m \neq n)$

• $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \, dx = 0 \quad (\text{任意 } m, n)$

• $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx \, dx = \pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 nx \, dx = \pi \quad (n \ge 1)$

• $\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 \, dx = 2\pi$

3. 欧拉-傅里叶（Euler-Fourier）公式 (4.4)#

利用三角函数系的正交性，若 $f(x)$ 可展开为三角级数且该级数一致收敛，则其系数必然由以下公式唯一确定：

由上述系数确定的三角级数称为 $f(x)$ 的 Fourier 级数，记作：

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

1. 狄利克雷（Dirichlet）收敛定理 (定理 4.1)#

设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数。若它在一个周期区间 $[-\pi, \pi]$ 上满足 Dirichlet 条件：

1. 分段单调：在 $[-\pi, \pi]$ 上可分为有限个区间，在每个子区间上函数单调；

2. 有限个第一类间断点：在 $[-\pi, \pi]$ 上只有有限个第一类间断点。