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高等代数下

2026-06-12

工高代

线性代数

/

高等代数

第六章二次型，矩阵的合同#

一、二次型与矩阵合同的基础概念#

1. 二次型的定义与矩阵表示#

二次型：设 $P$ 是一个数域，称含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的二次齐次多项式 $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j \quad (a_{ij} = a_{ji})$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 元二次型。
矩阵表示：引入列向量 $X = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ ，二次型可唯一表示为矩阵乘积形式： $f(X) = X^T A X$ 其中 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 是对称矩阵（即 $A^T = A$ ）。称 $A$ 为二次型 $f(X)$ 的矩阵，其秩 $\operatorname{rank}(A)$ 称为该二次型的秩。

2. 线性替换与矩阵合同#

非退化线性替换：设 $C$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵（即 $|C| \neq 0$ ）。关系式 $X = CY$ 称为由变量 $x_1, \dots, x_n$ 到 $y_1, \dots, y_n$ 的非退化线性替换。
合同（Congruence）：
- 定义：设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的两个 $n$ 阶对称矩阵，若存在 $K$ 上的可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^T A C = B$ 则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A \simeq B$ 。
- 等价性：二次型 $X^T A X$ 经过线性替换 $X = CY$ 变为 $Y^T (C^T A C) Y$ 。因此，两个二次型等价当且仅当它们的系数矩阵合同。
- 合同关系性质：合同是一种等价关系，满足：
  1. 自反性： $A \simeq A$ ；
  2. 对称性：若 $A \simeq B$ ，则 $B \simeq A$ ；
  3. 传递性：若 $A \simeq B$ 且 $B \simeq D$ ，则 $A \simeq D$ 。

二、二次型化为标准形的方法#

标准形：只含有平方项的二次型，即 $d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \dots + d_r y_r^2$ （对应矩阵为对角矩阵）。

1. 正交变换法（针对实二次型）#

原理：对任意实对称矩阵 $A$ ，必存在正交矩阵 $T$ （满足 $T^T = T^{-1}$ ），使得 $T^{-1}AT = T^T AT = \operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\}$ 。
替换关系： $X = TY$ ，变换后的标准形为： $f(Y) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \dots + \lambda_n y_n^2$ 其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的特征值。
特点：正交变换不仅保持二次型的标准形，而且保持几何图形的形状不变（例如二次曲面的类型判定）。

2. 拉格朗日配方法（Lagrange Method）#

通过逐步配完全平方，将二次型化为标准形。分两种情况处理：

情况一（含有平方项）：若含有某变量的平方项（如 $x_1^2$ ），则将所有含有 $x_1$ 的项集中配方，消去含 $x_1$ 的混合项。以此类推，逐步化简。
情况二（不含平方项）：若所有平方项系数均为 $0$ ，但存在混合项（如 $a_{12}x_1x_2 \neq 0$ ），则先作非退化线性变换： $\begin{align} \begin{cases} x_1 = y_1 - y_2 \\ x_2 = y_1 + y_2 \\ x_i = y_i \quad (i \ge 3) \end{cases} \end{align}$ 制造出平方项 $y_1^2 - y_2^2$ 后，再套用情况一进行配方。

3. 初等行列成对变换法（画双线法）#

原理：利用初等矩阵实现合同变换。对分块矩阵 $\begin{pmatrix} A \\ I \end{pmatrix}$ 进行成对的初等行、列变换（即对 $A$ 进行某一行变换，必须立即对 $A$ 进行对应的列变换；而下方的单位矩阵 $I$ 只作相应的初等行变换）。 $\begin{pmatrix} A \\ I \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{对 } A \text{ 做成对行列变换，对 } I \text{ 仅做行变换}} \begin{pmatrix} D \\ C \end{pmatrix}$ 最终使得 $D$ 为对角矩阵，此时可逆变换矩阵 $C$ 满足 $C^T A C = D$ 。

三、规范形与惯性定理#

1. 惯性定理（Sylvester’s Law of Inertia）#

定理内容：任意一个实二次型通过非退化线性替换化为标准形，虽然标准形不唯一，但标准形中正系数的个数 $p$ 与负系数的个数 $q$ 是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关。
指标定义：
- 正惯性指数：标准形中正系数的个数 $p$ 。
- 负惯性指数：标准形中负系数的个数 $q$ （或 $r-p$ ，其中 $r$ 为秩）。
- 符号差：正惯性指数与负惯性指数之差 $2p - r$ 。

2. 二次型的规范形#

实数域上的规范形：通过进一步缩放基底变量 $z_i = \sqrt{|d_i|} y_i$ ，任何秩为 $r$ 的实二次型均可唯一化为： $z_1^2 + \dots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \dots - z_r^2$
实对称矩阵合同的充要条件：两个实对称矩阵合同 $\iff$ 它们的秩和正惯性指数分别相同。
复数域上的规范形（习题 6.2 第 7 题）：由于复数域中可以开负数平方（引入虚数 $i$ ），因此复二次型的规范形不含有负号，唯一形式为： $z_1^2 + z_2^2 + \dots + z_r^2$ 其中 $r$ 为二次型的秩。这意味着，两个复对称矩阵合同 $\iff$ 它们的秩相同。

四、正定、半正定与定性判定#

1. 核心定义#

对于实二次型 $f(X) = X^T A X$ ：

正定（Positive Definite, PD）：对任意非零向量 $X \neq 0$ ，恒有 $X^T A X > 0$ 。
半正定（Positive Semi-definite, PSD）：对任意向量 $X$ ，恒有 $X^T A X \ge 0$ ，且存在非零向量使等号成立。
负定（Negative Definite, ND）：对任意非零向量 $X \neq 0$ ，恒有 $X^T A X < 0$ 。
半负定（Negative Semi-definite, NSD）：对任意向量 $X$ ，恒有 $X^T A X \le 0$ ，且存在非零向量使等号成立。
不定（Indefinite）：既能取正值，也能取负值。

2. 正定矩阵的充要条件#

设 $A$ 为实对称矩阵，以下各命题等价：

$A$ 是正定矩阵；
$A$ 的正惯性指数 $p = n$ （即规范形为 $y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2$ ）；
$A$ 与单位矩阵合同，即 $A \simeq I$ ；
$A$ 的特征值全为正数（ $\lambda_i > 0$ ）；
霍尔维茨定理（Sylvester’s Criterion）： $A$ 的所有顺序主子式均大于零，即： $D_k = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \dots & a_{kk} \end{vmatrix} > 0 \quad (k = 1, 2, \dots, n)$

3. 半正定、负定矩阵的判定条件#

半正定矩阵判定：
- 正惯性指数 $p = \operatorname{rank}(A)$ 。
- 所有的特征值 $\lambda_i \ge 0$ 。
- 注意：半正定的顺序主子式大于等于零只是必要条件。充分必要条件是：所有的主子式（共 $2^n-1$ 个）均大于等于零（见习题 6.3 第 17、19 题）。
负定矩阵判定（习题 6.3 第 18 题）：
- 特征值全为负数。
- 奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即： $(-1)^k D_k > 0 \quad (k = 1, 2, \dots, n)$

课后习题与例题中拓展的重要性质#

1. 正定矩阵的运算性质（习题 6.3）#

和的性质（题 1）：若 $A, B$ 是同阶正定矩阵，则其和 $A + B$ 也是正定矩阵。
逆的性质（题 2）：若 $A$ 是正定矩阵，则其逆矩阵 $A^{-1}$ 存在且也是正定矩阵。
伴随矩阵的性质（题 3）：若 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，则其伴随矩阵 $A^*$ 也是正定矩阵。
迹的性质（题 5）：正定矩阵的迹（主对角线元素之和）严格大于零，即 $\operatorname{tr}(A) > 0$ 。
行列式性质：正定矩阵的行列式 $|A| > 0$ （但反之不成立，例如 $A = -I_{2 \times 2}$ 时 $|A|=1 > 0$ ，但其并非正定）。

2. 合同关系的性质拓展#

合同与正定性（题 6.3 题 10）：若 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵， $B$ 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^T A C$ 与 $C^T B C$ 同时对角化。
合同类的个数（习题 6.2 题 2、3）：
- $n$ 阶实对称矩阵共有 $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 个不同的合同等价类（由秩 $r \in [0, n]$ 和正惯性指数 $p \in [0, r]$ 的组合数决定）。

3. 反对称矩阵的合同性质（习题 6.1 题 9, 10）#

定理：任一数域 $K$ 上的斜对称（反对称）矩阵 $A$ （即 $A^T = -A$ ）一定合同于以下形式的分块对角矩阵： $\operatorname{diag} \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, 0, \dots, 0 \right\}$
推论：斜对称矩阵的秩必为偶数。

第八章线性空间#

第一部分：§1 线性空间的结构#

一、线性空间的定义与基本性质#

1. 线性空间的定义#

设 $V$ 是一个非空集合， $F$ 是一个域。若在 $V$ 中定义了一种加法运算（记作 $\alpha + \beta$ ），在 $F$ 与 $V$ 之间定义了一种数量乘法运算（记作 $k\alpha$ ），且这两种运算对任意 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ 及 $k, l \in F$ 满足以下 8条运算规则：

加法四条：
1. 交换律： $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
2. 结合律： $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
3. 存在零元： $\exists \mathbf{0} \in V$ ，使得 $\alpha + \mathbf{0} = \alpha$
4. 存在负元： $\forall \alpha \in V, \exists \beta \in V$ ，使得 $\alpha + \beta = \mathbf{0}$ （记 $\beta = -\alpha$ ）
数乘四条： 5. 单位元作用： $1\alpha = \alpha$ 6. 数乘结合律： $(kl)\alpha = k(l\alpha)$ 7. 对域中加法的分配律： $(k+l)\alpha = k\alpha + l\alpha$ 8. 对空间中加法的分配律： $k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$

则称 $V$ 为域 $F$ 上的线性空间（或向量空间），其中的元素称为向量。

2. 核心基本性质#

由上述 8 条公理可直接逻辑推导得出以下性质（Page 74）：

零元唯一性： $V$ 中的零元素 $\mathbf{0}$ 是唯一的。
负元唯一性：每个元素 $\alpha$ 的负元素 $-\alpha$ 是唯一的（从而可定义减法 $\alpha - \beta \stackrel{\text{def}}{=} \alpha + (-\beta)$ ）。
数 $0$ 的乘法： $0\alpha = \mathbf{0}$ 对任意 $\alpha \in V$ 成立。
零向量的数乘： $k\mathbf{0} = \mathbf{0}$ 对任意 $k \in F$ 成立。
消去律/因子判定：若 $k\alpha = \mathbf{0}$ ，则必有 $k = 0$ 或 $\alpha = \mathbf{0}$ 。
负单位元的乘法： $(-1)\alpha = -\alpha$ 。

二、线性相关性与向量组的秩#

1. 线性相关与线性无关#

线性组合：若存在 $\lambda_i \in F$ ，使得 $\beta = \sum_{i=1}^s \lambda_i \alpha_i$ ，则称 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表示。
线性相关（Definition 2）：若存在不全为零的常数 $k_1, k_2, \dots, k_s \in F$ ，使得： $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = \mathbf{0}$ 否则，称该向量组线性无关。
基本结论：
- 单个向量 $\alpha$ 线性相关 $\iff \alpha = \mathbf{0}$ 。
- 任何包含零向量 $\mathbf{0}$ 的向量集必定线性相关。
- 命题 1：向量个数 $\ge 2$ 的向量组线性相关 $\iff$ 至少有一个向量可由其余向量线性表示。
- 命题 2：设 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性无关，则 $\beta$ 可由其线性表示 $\iff \alpha_1, \dots, \alpha_s, \beta$ 线性相关。

2. 向量组的等价与秩#

等价向量组（Definition 4）：若两个向量组可以互相线性表示，则称它们等价。等价关系满足自反性、对称性和传递性。
定理与推论：
- 引理 1：若 $\beta_1, \dots, \beta_r$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表示，且 $r > s$ ，则 $\beta_1, \dots, \beta_r$ 必线性相关。
- 推论 3：若独立的 $\beta_1, \dots, \beta_r$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表示，则 $r \le s$ 。
- 推论 4：等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。
极大线性无关组（Definition 5）：向量组的一个部分组，若它自身线性无关，且任意加入剩余向量中的一个都会使新部分组线性相关，则称其为该向量组的一个极大线性无关组。
秩（Definition 6）：向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记作 $\operatorname{rank}\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}$ $rank {α_{1}, \dots, α_{s}}$ 。
- 向量组等价 $\implies$ 它们的秩相等（推论 9）。
- 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则 $\operatorname{rank}(\text{I}) \le \operatorname{rank}(\text{II})$ 。

三、基、维数与坐标#

1. 基（Basis）的定义#

线性空间 $V$ 中的一个向量集 $S$ 若满足：

$S$ 是线性无关的；
$V$ 中的每一个向量都可以由 $S$ 中的有限多个向量线性表示；

则称 $S$ 是 $V$ 的一个基。

2. 有限维与无限维线性空间#

有限维空间（Definition 8）：如果 $V$ 存在一个包含有限个向量的基，则称 $V$ 为有限维线性空间；否则称为无限维线性空间（例如多项式空间 $K[x]$ ）。
维数（Dimension）：
- 有限维线性空间 $V$ 的任意两个基所含向量个数相等（定理 10），该个数称为 $V$ 的维数，记作 $\dim V$ 。
- 仅含零向量的零空间 $\{ \mathbf{0} \}$ 的维数为 $0$ 。
定理判定（命题 11, 12）：设 $\dim V = n$ $dim V = n$ ，则：
- $V$ 中任意 $n+1$ 个向量必线性相关。
- $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量都自动构成 $V$ 的一个基。

3. 坐标（Coordinates）#

唯一性：设 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一个基，对任意 $\alpha \in V$ ， $\alpha$ 唯一地表示为基向量的线性组合： $\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n$
坐标：系数组成的有序 $n$ 元组 $X = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ 称为 $\alpha$ 在该基下的坐标。

四、过渡矩阵与坐标变换公式#

1. 过渡矩阵（Transition Matrix）#

设 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个不同的基，满足：

\begin{align} \begin{cases} \beta_1 = a_{11}\alpha_1 + a_{21}\alpha_2 + \dots + a_{n1}\alpha_n \\ \beta_2 = a_{12}\alpha_1 + a_{22}\alpha_2 + \dots + a_{n2}\alpha_n \\ \quad \vdots \\ \beta_n = a_{1n}\alpha_1 + a_{2n}\alpha_2 + \dots + a_{nn}\alpha_n \end{cases} \end{align}

利用矩阵记号可写为： $(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A$ 其中， $n$ 阶矩阵 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 称为由基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 的过渡矩阵。

重要结论（命题 14）：过渡矩阵 $A$ 必定是可逆矩阵（即 $|A| \neq 0$ ）。

2. 坐标变换公式#

若向量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 下的坐标为 $X = (x_1, \dots, x_n)^T$ ，在基 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 下的坐标为 $Y = (y_1, \dots, y_n)^T$ 。则它们的关系为： $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) X = (\beta_1, \dots, \beta_n) Y = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) AY$ 由于表示方式唯一，故有： $X = AY \quad \text{或} \quad Y = A^{-1}X$

第二部分：§2 子空间及其交与和、子空间的直和#

一、子空间的定义与判定#

1. 定义#

设 $U$ 是线性空间 $V$ 的一个非空子集，若 $U$ 对于 $V$ 中定义的加法与数乘运算也构成域 $F$ 上的一个线性空间，则称 $U$ 是 $V$ 的一个线性子空间（简称子空间）。

平凡子空间： $\{\mathbf{0}\}$ （零子空间）与 $V$ 本身。

2. 判定定理（定理 1）#

非空子集 $U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间，当且仅当 $U$ 对 $V$ 中的运算满足封闭性：

加法封闭： $\forall u_1, u_2 \in U \implies u_1 + u_2 \in U$
数乘封闭： $\forall u \in U, k \in F \implies ku \in U$

3. 维数关系与基扩充#

维数不等式：若 $U \subseteq V$ 是子空间，则 $\dim U \le \dim V$ 。且当 $\dim U = \dim V$ （有限维）时，有 $U = V$ 。
基扩充定理（命题 4）：设 $U$ 是 $V$ 的一个子空间，则 $U$ 的任一基都可以扩充为整个空间 $V$ 的一个基。

4. 生成子空间（Span）#

由向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 的所有可能线性组合构成的集合： $\langle \alpha_1, \dots, \alpha_s \rangle = \{ k_1\alpha_1 + \dots + k_s\alpha_s \mid k_i \in F \}$ 是 $V$ 的一个子空间，称为由该向量组生成的子空间。

重要性质（定理 5）：该子空间的维数等于生成它的向量组的秩。 $\dim \langle \alpha_1, \dots, \alpha_s \rangle = \operatorname{rank}\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}$

二、子空间的交与和#

设 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的两个子空间：

1. 交子空间（Intersection）#

$V_1 \cap V_2 = \{ \alpha \in V \mid \alpha \in V_1 \text{ 且 } \alpha \in V_2 \}$

结论（定理 6）：任意多个子空间的交集仍然是 $V$ 的子空间。

2. 和子空间（Sum）#

$V_1 + V_2 = \{ \alpha_1 + \alpha_2 \mid \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2 \}$

结论（定理 7）：两个子空间的和依然是 $V$ 的子空间。并且其满足交换律与结合律。
生成元性质（命题 8）： $\langle \alpha_1, \dots, \alpha_s \rangle + \langle \beta_1, \dots, \beta_r \rangle = \langle \alpha_1, \dots, \alpha_s, \beta_1, \dots, \beta_r \rangle$

3. 维数公式（定理 9）#

对于有限维子空间 $V_1$ 和 $V_2$ ，它们的和与交的维数满足以下关系（Grassmann 维数公式）： $\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$

三、子空间的直和（Direct Sum）#

1. 两个子空间的直和#

定义（Definition 2）：若 $V_1 + V_2$ 中每一个向量 $\alpha$ 的分解式 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$ （ $\alpha_i \in V_i$ ）是唯一的，则称该和为直和，记作 $V_1 \oplus V_2$ 。
等价判定条件（定理 11）：以下五种陈述是等价的：
1. $V_1 + V_2$ 是直和；
2. 零向量 $\mathbf{0}$ 的表示法唯一（即 $\alpha_1 + \alpha_2 = \mathbf{0} \implies \alpha_1 = \alpha_2 = \mathbf{0}$ ）；
3. 交空间仅含零元： $V_1 \cap V_2 = \{ \mathbf{0} \}$ ；
4. 维数相加： $\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$ ；
5. 拼接基：若把 $V_1$ 的一个基与 $V_2$ 的一个基组合起来，正好构成 $V_1 + V_2$ 的一个基。

2. 补空间（Complementary Subspace）#

若 $V = V_1 \oplus V_2$ ，则称 $V_2$ 是 $V_1$ 在 $V$ 中的一个补空间。
定理 12：有限维线性空间 $V$ 的任意子空间 $U$ 都至少存在一个补空间（通常不唯一）。

3. 多个子空间的直和#

对于多个子空间的和 $V_1 + V_2 + \dots + V_s$ ，如果零向量的表示法唯一，则称该和为直和，记作 $\bigoplus_{i=1}^s V_i$ 。

等价条件（定理 13）：
- 和为直和 $\iff$ 对每一个 $i$ ，有 $V_i \cap \left( \sum_{j \neq i} V_j \right) = \{\mathbf{0}\}$ 。
- 和为直和 $\iff \dim(V_1 + \dots + V_s) = \sum_{i=1}^s \dim V_i$ 。

第三部分：§3 线性空间的同构#

一、同构（Isomorphism）的定义与性质#

1. 同构的定义#

设 $V$ 与 $V'$ 都是域 $F$ 上的线性空间。如果存在一个从 $V$ 到 $V'$ 的双射 $\sigma$ ，使得对任意 $\alpha, \beta \in V, k \in F$ ，均满足：

保持加法： $\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
保持数乘： $\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$

则称 $\sigma$ 是 $V$ 到 $V'$ 的一个同构映射（简称同构）。若此类映射存在，则称线性空间 $V$ 与 $V'$ 同构，记作 $V \cong V'$ （或 $V \approx V'$ ）。

2. 同构映射的基本代数性质（Page 92）#

同构映射 $\sigma$ 保持了线性空间的所有代数结构特性：

性质 1： $\sigma(\mathbf{0}) = \mathbf{0}'$ （零元映射到零元）。
性质 2： $\sigma(-\alpha) = -\sigma(\alpha)$ （保持负元）。
性质 3：保持线性组合： $\sigma\left(\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^s k_i \sigma(\alpha_i)$ 。
性质 4：向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 在 $V$ 中线性相关（无关） $\iff$ 其像 $\sigma(\alpha_1), \dots, \sigma(\alpha_s)$ 在 $V'$ 中线性相关（无关）。
性质 5： $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一个基 $\iff \sigma(\alpha_1), \dots, \sigma(\alpha_n)$ 是 $V'$ 的一个基。

二、同构主定理与同构分类#

1. 同构基本定理（定理 1）#

定理内容：域 $F$ 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同。
核心推论：
- 域 $F$ 上任何一个 $n$ 维线性空间 $V$ 都与空间 $F^n$ 同构（通过取定 $V$ 的一组基，建立“向量 $\to$ 其坐标”的映射来实现同构）。
- 结构完全一致性：同构的线性空间虽然元素对象不同，但有关线性运算的所有代数性质完全一致。

2. 同构关系的等价性（Page 94）#

同构是线性空间集合上的一个等价关系（具有自反性、对称性、传递性）。
同构类：维数完全决定了有限维线性空间的同构类。有限维线性空间的同构类与非负整数集 $\{0, 1, 2, \dots \}$ 之间存在一一对应。

阅读材料四：有限域的元素个数（Page 96）#

利用线性空间同构的理论，可以证明近世代数中关于有限域的核心定理：

引理：设 $F$ 是一个有限域，其特征必为素数 $p$ 。因此 $F$ 包含一个同构于 $\mathbb{Z}_p$ （素域 $F_p$ ）的子域。
定理：由于 $F$ 可看作 $F_p$ 上的有限维线性空间（设维数为 $n$ ），根据同构理论，有 $F \cong F_p^n$ 。
结论：任何有限域 $F$ 的元素个数必为 $p^n$ （其中 $p$ 为域的特征，是素数； $n$ 为有限维空间的维数）。

第四部分：§4 商空间（Quotient Space）#

一、陪集（Coset）与同余关系#

1. 同余关系与等价类#

设 $W$ 是线性空间 $V$ 的一个子空间。在 $V$ 上定义一个二元关系 $\sim$ ： $\alpha \sim \beta \iff \alpha - \beta \in W$

易证 $\sim$ 是一个等价关系（自反、对称、传递）。
等价类（陪集）：向量 $\alpha$ 所属的等价类记作 $\bar{\alpha}$ （或 $\alpha + W$ ），定义为： $\alpha + W = \{ \alpha + \gamma \mid \gamma \in W \}$ 称 $\alpha + W$ 为子空间 $W$ 的一个陪集， $\alpha$ 称为该陪集的代表元。
陪集相等判定： $\alpha + W = \beta + W \iff \alpha - \beta \in W$ 。

二、商空间的定义（Definition 1 & 定理 1）#

1. 商空间的集合表示#

所有等价类（陪集）组成的集合称为 $V$ 关于 $W$ 的商空间，记作 $V/W$ ： $V/W = \{ \alpha + W \mid \alpha \in V \}$

2. 代数运算规则#

在 $V/W$ 上定义加法与数乘运算：

加法： $(\alpha + W) + (\beta + W) \stackrel{\text{def}}{=} (\alpha + \beta) + W$
数乘： $k(\alpha + W) \stackrel{\text{def}}{=} k\alpha + W \quad (k \in F)$

良定义性：上述运算的结果不依赖于陪集代表元 $\alpha, \beta$ 的选择。
结论： $V/W$ 对上述运算构成域 $F$ 上的线性空间，其零元为 $W$ 本身（即 $\mathbf{0} + W$ ）。

三、商空间的维数、基与余维数#

1. 维数公式（定理 2）#

如果 $V$ 是有限维线性空间， $W$ 是其子空间，则商空间的维数为： $\dim(V/W) = \dim V - \dim W$

基的构造：设 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 是 $W$ 的一个基，将其扩充为 $V$ 的一个基 $\alpha_1, \dots, \alpha_s, \alpha_{s+1}, \dots, \alpha_n$ 。则： $\alpha_{s+1} + W, \ \alpha_{s+2} + W, \ \dots, \ \alpha_n + W$ 构成了商空间 $V/W$ 的一个基。

2. 商空间与直和的联系（定理 3）#

若商空间 $V/W$ 的一个基为 $\beta_1 + W, \dots, \beta_t + W$ 。令 $U = \langle \beta_1, \dots, \beta_t \rangle$ ，则： $V = W \oplus U$ 这表明，商空间的基可以直接诱导 $W$ 在 $V$ 中的一个补空间。

3. 余维数（Codimension）与自然映射#

余维数：称 $\dim(V/W)$ 为子空间 $W$ 在 $V$ 中的余维数，记作 $\operatorname{codim}_V W$ 。
标准/典范映射（Canonical Mapping）：映射 $\pi: V \to V/W$ （定义为 $\pi(\alpha) = \alpha + W$ ）是一个满射线性映射。

阅读材料五：线性码与商空间的实际应用#

线性码（以 $(7,4)$ 汉明码为例）在几何与代数上的本质是商空间及其陪集的应用。

1. 线性码的数学构造#

设二元域为 $\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$ 。发送的信息位为 $X = (a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb{Z}_2^4$ 。
通过添加 3 个校验位 $c_1, c_2, c_3$ （满足冗余方程），构成 7 维向量。其映射 $\sigma: \mathbb{Z}_2^4 \to \mathbb{Z}_2^7$ 是一个单射。
线性码 $C = \operatorname{Im}(\sigma)$ 是 $\mathbb{Z}_2^7$ 的一个 4 维子空间。

2. 校验矩阵与校验子（Syndrome）#

所有的编码方程可写作矩阵形式： $H X^T = \mathbf{0}$ ，其中 $H$ 称为校验矩阵（或校检矩阵）。
任意接收到的字为 $y \in \mathbb{Z}_2^7$ 。计算其校验子（Syndrome）： $S = H y^T$ 若 $S = \mathbf{0}$ ，则说明传输无错，该字属于编码子空间 $C$ 。

3. 陪集译码（Coset Decoding）与陪集首#

设发送的码字为 $x \in C$ ，实际接收字为 $y = x + e$ ，其中 $e$ 是差错向量。
同余性质： $H y^T = H e^T \iff y \text{ 与 } e \text{ 属于商空间 } \mathbb{Z}_2^7/C \text{ 的同一个陪集 } y + C$
极大似然译码原理：在同一个陪集 $y + C$ 中，非零元素最少（即 Hamming 重量 $W(e)$ 最小）的向量最可能是真实的差错向量 $e$ 。
陪集首（Coset Leader）：每个陪集中 Hamming 重量最小的向量。
纠错过程：
1. 计算接收字 $y$ 的校验子 $S = H y^T$ 。
2. 查表找到对应的陪集首（即最可能的误差向量 $e$ ）。
3. 进行纠错译码：译码结果为 $x = y - e$ 。

例题与课后习题延伸的重要性质#

1. §1 课后习题重要结论（Page 81-82）#

数乘新定义（题 1(2)）：所有正实数组成的集合 $\mathbb{R}_+$ ，在定义加法为 $a \oplus b = ab$ ，数乘为 $k \odot a = a^k$ 时，构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。其基为任意不等于 $1$ 的正实数（如 $\{e\}$ ），维数为 $1$ 。
函数空间的线性无关性判定（题 2）：
- 向量组 $\{1, \cos^2 x, \cos 2x\}$ 是线性相关的（因为恒等式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ ）。
- 向量组 $\{1, \cos x, \cos 2x, \dots, \cos nx\}$ 是线性无关的。
对称与反对称矩阵的维数（题 6, 7）：
- $n$ 阶对称矩阵集合 $V_1$ 是 $M_n(K)$ 的子空间，其维数 $\dim V_1 = \frac{n(n+1)}{2}$ 。
- $n$ 阶斜对称（反对称）矩阵集合 $V_2$ 也是子空间，其维数 $\dim V_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ 。
- 直和分解性质：因为任意矩阵可写为对称部分与反对称部分的和 $A = \frac{A+A^T}{2} + \frac{A-A^T}{2}$ ，且 $V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}$ ，因而有 $M_n(K) = V_1 \oplus V_2$ 。

2. §2 课后习题重要结论（Page 90-91）#

可交换矩阵空间 $C(A)$ （题 2, 3, 4）：
- 与给定矩阵 $A$ 可交换的所有矩阵组成的集合 $C(A) = \{ B \in M_n(K) \mid AB = BA \}$ 构成了 $M_n(K)$ 的一个子空间。
- 若 $A = \operatorname{diag}\{a_1, \dots, a_n\}$ 且 $a_i$ 两两不同，则可交换空间 $C(A)$ 的基为 $E_{11}, E_{22}, \dots, E_{nn}$ （所有对角矩阵），其维数 $\dim C(A) = n$ .
子空间并集非子空间定理（题 9）：
- 两个子空间的并集 $V_1 \cup V_2$ 仍是子空间的充要条件是 $V_1 \subseteq V_2$ 或 $V_2 \subseteq V_1$ 。如果 $V_1 \not\subseteq V_2$ 且 $V_2 \not\subseteq V_1$ ，则 $V_1 \cup V_2$ 绝不是子空间。
矩阵可对角化的几何重述（题 16）：
- 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ 是其所有不同的特征值， $V_{\lambda_i}$ 是对应的特征子空间（即属于 $\lambda_i$ 的特征向量加上零向量）。
- 结论： $A$ 可对角化 $\iff$ 整个空间 $K^n$ 刚好能写成所有特征子空间的直和： $K^n = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_r}$

3. §3 同构习题精要（Page 95）#

同构重现（题 1）：实数域 $\mathbb{R}$ 作为其自身的 1 维线性空间，与满足新运算定义的 $\mathbb{R}_+$ 同构。其同构映射即为对数/指数函数（ $\sigma(x) = e^x$ ）。
经典空间的同构表示（题 2, 3）：
- 矩阵空间 $M_{s \times n}(F) \cong F^{sn}$ 。
- 次数小于 $n$ 的一元多项式空间 $F[x]_n \cong F^n$ 。
复数结构的矩阵子空间表示（题 5）：
- 实矩阵空间中的子集 $L = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{R} \right\}$ 是 $M_2(\mathbb{R})$ 的一个 2 维子空间，且 $L$ 与复数域 $\mathbb{C}$ （作为实数域上的线性空间）同构。其同构映射为： $\sigma\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = a + bi$

4. §4 商空间习题精要（Page 101）#

第一同构定理的应用（题 1）：若 $V = U \oplus W$ ，则商空间 $V/U \cong W$ 。
第二同构定理（题 4）：若 $U, W$ 是 $V$ 的子空间，则满足同构关系： $(U + W)/W \cong U / (U \cap W)$

第九章线性映射#

第一部分：§1 线性映射及其运算#

一、核心定义与分类#

1. 线性映射的定义#

设 $V$ 与 $V'$ 是域 $F$ 上的两个线性空间。若映射 $A: V \to V'$ 保持加法与数乘两种运算，即满足：

加法保持： $A(\alpha + \beta) = A(\alpha) + A(\beta), \quad \forall \alpha, \beta \in V$
数乘保持： $A(k\alpha) = k\alpha \dots \text{不对，应为 } kA(\alpha), \quad \forall \alpha \in V, k \in F$ 即 $A(k\alpha) = kA(\alpha)$ 。

则称 $A$ 是 $V$ 到 $V'$ 的一个线性映射。

2. 特殊线性映射分类#

线性变换（Linear Operator）：自自身到自身的线性映射 $A: V \to V$ 。
线性函数/泛函（Linear Functional）：自空间到其基础域的线性映射 $A: V \to F$ 。

二、线性映射的基本性质#

设 $A: V \to V'$ 为线性映射：

零元与负元保持： $A(\mathbf{0}) = \mathbf{0}'$ 且 $A(-\alpha) = -A(\alpha)$ 。
线性组合保持： $A\left(\sum_{i=1}^s k_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^s k_i A(\alpha_i)$ 。
线性相关性单向保持：若 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ $α_{1}, \dots, α_{s}$ 线性相关，则其像 $A(\alpha_1), \dots, A(\alpha_s)$ $A (α_{1}), \dots, A (α_{s})$ 必线性相关。
- 注意：若原向量组线性无关，其像在一般线性映射下不一定线性无关（唯有当 $A$ 是单射时才必然保持线性无关）。
基作用决定性：若 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一个基，则任意向量 $\alpha = \sum a_i \alpha_i$ 的像完全由基向量的像决定： $A(\alpha) = \sum_{i=1}^n a_i A(\alpha_i)$

三、线性映射存在唯一性定理与直和投影#

唯一性定理（定理 1）：设 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一个基， $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ 是 $V'$ 中任意指定的 $n$ 个向量。则存在且仅存在一个线性映射 $A: V \to V'$ ，满足： $A(\alpha_i) = \gamma_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$
直和投影（定理 2）：若 $V = U \oplus W$ $V = U \oplus W$ ，任意 $\alpha \in V$ $α \in V$ 可唯一分解为 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$ $α = α_{1} + α_{2}$ （ $\alpha_1 \in U, \alpha_2 \in W$ $α_{1} \in U, α_{2} \in W$ ）。
- 映射 $P_U(\alpha) = \alpha_1$ 称为平行于 $W$ 在 $U$ 上的投影。
- 投影变换性质：
  1. $P_U^2 = P_U$ 且 $P_W^2 = P_W$ （幂等性）；
  2. $P_U P_W = P_W P_U = \mathbf{0}$ （两两正交）；
  3. $P_U + P_W = I$ （和为恒等变换）。

四、线性映射的代数运算与 Hom 空间#

1. 映射运算#

加法： $(A+B)(\alpha) \stackrel{\text{def}}{=} A(\alpha) + B(\alpha)$
数量乘法： $(kA)(\alpha) \stackrel{\text{def}}{=} k A(\alpha)$
乘法（复合）：设 $A: V \to U, B: U \to W$ $A : V \to U, B : U \to W$ ，定义复合映射 $BA: V \to W$ $B A : V \to W$ 为： $(BA)(\alpha) \stackrel{\text{def}}{=} B(A(\alpha))$ $(B A) (α) = def B (A (α))$
- 性质：映射乘法满足结合律、分配律，但一般不满足交换律。

2. 线性空间与代数结构（Definition 2）#

线性空间 $\operatorname{Hom}(V, V')$ ： $V$ 到 $V'$ 的所有线性映射构成的集合，关于加法和数乘构成一个线性空间。
代数（Algebra）：在域 $F$ 上既是线性空间，又配有满足结合律、对加法分配律以及数乘相容性（ $k(ab) = (ka)b = a(kb)$ ）的乘法运算的代数系统。
算子代数：自同态空间 $\operatorname{Hom}(V, V)$ 关于映射的加法、数乘和乘法（复合）构成域 $F$ 上的一个有单位元的代数。其多项式子代数记作 $F[A]$ ，它是一个可交换代数（即 $f(A)g(A) = g(A)f(A)$ ）。

第二部分：§2 线性映射的核与象#

一、定义与子空间性质（Definition 1）#

设 $A: V \to V'$ 是线性映射：

核（Kernel）：映射到零向量的所有原像集合。 $\operatorname{Ker} A = \{ \alpha \in V \mid A(\alpha) = \mathbf{0}' \}$
象（Image）：所有像的集合（值域）。 $\operatorname{Im} A = A(V) = \{ A(\alpha) \mid \alpha \in V \}$
基本性质（命题 1）： $\operatorname{Ker} A$ 是 $V$ 的子空间， $\operatorname{Im} A$ 是 $V'$ 的子空间。

二、单射与满射的代数特征（命题 2）#

$A$ 是单射 $\iff \operatorname{Ker} A = \{ \mathbf{0} \}$ 。
$A$ 是满射 $\iff \operatorname{Im} A = V'$ 。

三、维数定理（Rank-Nullity Theorem, 定理 3）#

若 $V$ 是有限维线性空间，则其核子空间与象子空间的维数满足： $\dim(\operatorname{Ker} A) + \dim(\operatorname{Im} A) = \dim V$

术语： $\dim(\operatorname{Ker} A)$ 称为 $A$ 的零度（Nullity）， $\dim(\operatorname{Im} A)$ 称为 $A$ 的秩（Rank）。
推论 4 & 5：当 $\dim V = \dim V'$ 时，线性映射 $A$ 是单射 $\iff A$ 是满射 $\iff A$ 是同构。

第三部分：§3 线性映射的矩阵表示#

一、映射在给定基下的矩阵表示#

1. 线性变换的矩阵表示（Page 116）#

设 $A$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，选定一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 。基向量的像表示为基的线性组合： $A(\alpha_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij}\alpha_i, \quad j=1,\dots,n$ 即写为矩阵形式： $(A(\alpha_1), A(\alpha_2), \dots, A(\alpha_n)) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A$ 其中 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 称为 $A$ 在该基下的矩阵。其第 $j$ 列是像 $A(\alpha_j)$ 的坐标。

2. 一般线性映射的矩阵表示（Page 118）#

设 $A: V \to V'$ ，其中 $\dim V = n$ , $\dim V' = s$ 。选定 $V$ 的基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 与 $V'$ 的基 $\eta_1, \dots, \eta_s$ ，则有： $(A(\alpha_1), \dots, A(\alpha_n)) = (\eta_1, \dots, \eta_s) A_{s \times n}$

二、算子空间与矩阵空间的同构（定理 1）#

设 $\dim V = n, \dim V' = s$ ，则： $\operatorname{Hom}(V, V') \cong M_{s \times n}(F)$ 由此可得： $\dim \operatorname{Hom}(V, V') = sn = (\dim V)(\dim V')$ 。

同构映射下，映射 of 加法对应矩阵加法，数乘对应矩阵数乘，映射的复合（乘法）对应矩阵的乘法。

三、坐标变换公式与相似矩阵（相似对角化基础）#

向量像的坐标公式（Page 120）：若 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 下的坐标为 $X$ ，则其像 $A(\alpha)$ 在该基下的坐标为： $Y = AX$
基变换下的矩阵变换（定理 3）：设线性变换 $A$ 在基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 下的矩阵为 $A$ ，在另一组基 $\eta_1, \dots, \eta_n$ 下的矩阵为 $B$ 。若第一组基到第二组基的过渡矩阵为 $S$ （即 $(\eta_1,\dots,\eta_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)S$ ），则： $B = S^{-1} A S$
相似的代数物理意义（命题 4）：两个矩阵相似 $\iff$ 它们是同一个线性变换在不同基下的矩阵表示。

第四部分：§4 线性变换的特征值与特征向量，对角化条件#

一、特征值与特征向量的定义#

1. 定义（Definition 1）#

设 $A$ 是域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换。若存在一个非零向量 $\xi \in V$ 和一个标量 $\lambda_0 \in F$ ，满足： $A\xi = \lambda_0 \xi$ 则称 $\lambda_0$ 为 $A$ 的一个特征值， $\xi$ 称为 $A$ 属于特征值 $\lambda_0$ 的一个特征向量。

几何意义：线性变换 $A$ 作用在 $\xi$ 上仅产生伸缩（或压缩、反向）效果，其比例因子即为特征值 $\lambda_0$ 。

2. 与矩阵特征值的等价性（Page 127）#

若 $V$ 是有限维空间，选定一组基后，设 $\xi$ 的坐标向量为 $X$ ， $A$ 在该基下的表示矩阵为 $A$ 。则有： $A\xi = \lambda_0 \xi \iff AX = \lambda_0 X$ 线性变换 $A$ 的特征多项式即为表示矩阵特征多项式 $|\lambda I - A|$ 。

二、特征子空间与重数#

特征子空间 $V_{\lambda_0}$ （Page 128）：属于特征值 $\lambda_0$ 的所有特征向量加上零向量构成的集合： $V_{\lambda_0} = \{ \alpha \in V \mid A\alpha = \lambda_0 \alpha \}$ 它是 $V$ 的一个子空间。
重数关系：
- 几何重数：特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 的维数，公式为： $\dim V_{\lambda_0} = n - \operatorname{rank}(\lambda_0 I - A)$
- 代数重数： $\lambda_0$ 作为特征多项式根的重数。
- 定理：任何特征值的几何重数 $\le$ 代数重数。

三、线性变换可对角化的充要条件（定理 1）#

对于 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$ ，以下各命题等价：

$A$ 可对角化（即存在一组基，使 $A$ 在该基下的表示矩阵为对角矩阵）。
$A$ 拥有 $n$ 个线性无关的特征向量。
$V$ 中存在一个完全由 $A$ 的特征向量构成的基。
$A$ 的各个不同特征值的特征子空间维数之和等于 $n$ ： $\sum_{i=1}^s \dim V_{\lambda_i} = n$
空间直和分解： $V$ 恰好是所有特征子空间的直和： $V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus V_{\lambda_s}$ （其中对角线上元素即为对应的全部特征值）。

第五部分：§5 线性变换的不变子空间#

一、不变子空间的定义与基本实例#

1. 定义（Definition 1）#

设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间。若对任意 $\alpha \in W$ ，其像 $A\alpha$ 仍属于 $W$ ： $\alpha \in W \implies A\alpha \in W$ 则称 $W$ 是线性变换 $A$ 的一个不变子空间（简称 $A$ -子空间）。

平凡不变子空间： $\{\mathbf{0}\}$ 与 $V$ 。

2. 经典不变子空间（命题 1, 2 及推论 3）#

对于线性变换 $A$ ，下列子空间变定是 $A$ -不变子空间：

核 $\operatorname{Ker} A$ 与象 $\operatorname{Im} A$ 。
$A$ 的任意特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 。
若 $A$ 与 $B$ 可交换（即 $AB = BA$ ），则 $B$ 的核 $\operatorname{Ker} B$ 、象 $\operatorname{Im} B$ 以及 $B$ 的特征子空间都是 $A$ -不变子空间。
对任意多项式 $f(x)$ ， $\operatorname{Ker} f(A)$ 与 $\operatorname{Im} f(A)$ 都是 $A$ -不变子空间。

3. 限制算子（Page 132）#

若 $W$ 是 $A$ -不变子空间，则 $A$ 限制在 $W$ 上的映射 $A|_W: W \to W$ （定义为 $A|_W(\alpha) = A\alpha$ ）是 $W$ 上的线性变换。

二、不变子空间与矩阵分块表示的对应关系#

不变子空间的存在与变换矩阵的分块对角化形式有如下深刻的充要对应：

分块上三角表示（定理 5）： $A$ 拥有一个 $r$ 维非平凡不变子空间 $W$ $\iff$ 存在一组基使 $A$ 的表示矩阵为分块上三角矩阵： $\begin{pmatrix} A_1 & A_3 \\ \mathbf{0} & A_2 \end{pmatrix}$ （其中 $A_1$ 即为限制变换 $A|_W$ 的 $r$ 阶矩阵）。
分块对角表示（定理 6）：整个空间 $V$ 能分解为 $A$ -不变子空间的直和 $V = W_1 \oplus \dots \oplus W_s$ $\iff$ 存在一组基使 $A$ 的矩阵为分块对角矩阵： $\operatorname{diag}\{A_1, A_2, \dots, A_s\}$ （其中对角块 $A_i$ 分别为限制变换 $A|_{W_i}$ 的矩阵）。

三、互素分解定理与零化多项式#

1. 互素分解定理（定理 7 & 推论 8）#

定理内容：若多项式可因子分解为 $f(x) = f_1(x) f_2(x)$ ，且两个因子互素（即 $(f_1(x), f_2(x)) = 1$ ），则： $\operatorname{Ker} f(A) = \operatorname{Ker} f_1(A) \oplus \operatorname{Ker} f_2(A)$
推广（推论 8）：若多项式 $f_1(x), \dots, f_s(x)$ 两两互素，则： $\operatorname{Ker}(f_1(A)\dots f_s(A)) = \bigoplus_{i=1}^s \operatorname{Ker} f_i(A)$

2. 零化多项式（Annihilating Polynomial, Definition 2 & 3）#

定义：如果一元多项式 $f(x)$ 使得 $f(A) = \mathbf{0}$ （零变换），则称 $f(x)$ 为线性变换 $A$ 的一个零化多项式。
定理：在有限维线性空间上，任意线性变换都存在非零的零化多项式（证明由 $\dim \operatorname{Hom}(V, V) = n^2$ 及线性相关性直接给出，最大次数不超 $n^2$ ）。

阅读材料与课后习题重要拓展性质#

1. 两两正交幂等变换的充要条件（阅读材料六, Page 123-126）#

定理：设 $A_1, A_2, \dots, A_s$ $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{s}$ 是有限维实数域上线性空间 $V$ $V$ 上的线性变换。则它们是两两正交的幂等变换且和为恒等变换（即满足 $A_i^2 = A_i$ $A_{i}^{2} = A_{i}$ ， $A_i A_j = \mathbf{0} \ (i \neq j)$ $A_{i} A_{j} = 0 (i \neq = j)$ 且 $\sum_{i=1}^s A_i = I$ $\sum_{i = 1}^{s} A_{i} = I$ ）当且仅当满足下面两个等价的矩阵/空间形式之一：
1. $\sum_{i=1}^s A_i = I$ 且 $A_i$ 都是幂等变换；
2. $\operatorname{rank}(I) = \sum_{i=1}^s \operatorname{rank}(A_i)$ 且 $\sum_{i=1}^s A_i = I$ 。

2. 习题中的重要性质与证明结论（Page 112-113 & 116）#

幂等与直和分解（§2 题 2）：若 $A$ 是 $V$ 上的幂等变换（即 $A^2 = A$ ），则： $V = \operatorname{Ker} A \oplus \operatorname{Im} A$ 且 $A$ 是平行于 $\operatorname{Ker} A$ 在 $\operatorname{Im} A$ 上的投影变换。
复合映射核与象的维数不等式（§2 题 3, 4）：
- $\dim(\operatorname{Ker}(BA)) \le \dim(\operatorname{Ker} A) + \dim(\operatorname{Ker} B)$ 。
- 矩阵形式： $\operatorname{rank}(BA) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - \dim U$ （其中中间过渡空间为 $U$ ）。
对角线特征矩阵的构件（§3 题 5）：设 $A$ $A$ 是 $n$ $n$ 维线性空间 $V$ $V$ 上的线性变换。若存在向量 $\alpha$ $α$ 使得 $A^{n-1}\alpha \neq \mathbf{0}$ $A^{n - 1} α \neq = 0$ ，但 $A^n\alpha = \mathbf{0}$ $A^{n} α = 0$ 。
- 结论：向量组 $\alpha, A\alpha, A^2\alpha, \dots, A^{n-1}\alpha$ 必线性无关，构成 $V$ 的一个基。在该基下， $A$ 的矩阵具有如下极其简单伴随的对角线形式（Jordan 块的初级形式）： $\begin{align} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \end{align}$

3. §4 特征值与特征向量习题结论#

不同特征值的特征向量（题 4, 5）：
- 属于不同特征值的特征向量必线性无关。
- 若 $\xi_1, \xi_2$ 分别属于不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ ，则其和 $\xi_1 + \xi_2$ 绝不是 $A$ 的特征向量。
数乘变换判定（题 6）：若有限维空间中 $V$ 中的每一个非零向量都是线性变换 $A$ 的特征向量，则 $A$ 必为数乘变换（即 $A = kI$ ）。
可逆变换性质（题 7）： $A$ 可逆 $\iff$ 其特征值全不为零。且若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^{-1}$ 是逆变换 $A^{-1}$ 的特征值。

4. §5 不变子空间习题结论#

可交换变换的公共特征向量（题 3）：若 $V$ 是复数域上的有限维空间，且线性变换 $A, B$ 可交换（即 $AB = BA$ ），则 $A$ 与 $B$ 至少有一个公共的特征向量。
几何重数与代数重数一致性（题 8）：线性变换 $A$ 可对角化 $\iff$ $A$ 的每一个特征值的几何重数等于其代数重数。
幂等与对合变换的秩公式（题 9, 10）：
- 若 $A^2 = A$ （幂等），则有 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(A - I) = n$ 。
- 若 $A^2 = I$ （对合，域特征不为 2），则有 $\operatorname{rank}(A + I) + \operatorname{rank}(A - I) = n$ 。
商空间诱导变换与特征多项式因式分解（题 15, 16）：设 $W$ $W$ 是 $A$ $A$ -不变子空间，其诱导商空间 $V/W$ $V / W$ 上的线性变换 $\bar{A}: V/W \to V/W$ $\overset{ˉ}{A} : V / W \to V / W$ 定义为 $\bar{A}(\alpha+W) = A\alpha+W$ $\overset{ˉ}{A} (α + W) = A α + W$ 。
- 结论： $A$ 的特征多项式 $f(x)$ ，限制算子 $A|_W$ 的特征多项式 $f_1(x)$ 以及诱导算子 $\bar{A}$ 的特征多项式 $f_2(x)$ 满足整除因子关系： $f(x) = f_1(x) f_2(x)$

第十章具有度量的线性空间#

第一部分：§1 双线性函数#

一、核心定义与代数表示#

1. 双线性函数的定义（Definition 1）#

设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间。若映射 $f: V \times V \to F$ 关于两个自变量都满足线性性质，即满足：

左线性： $f(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2, \beta) = k_1 f(\alpha_1, \beta) + k_2 f(\alpha_2, \beta)$
右线性： $f(\alpha, k_1\beta_1 + k_2\beta_2) = k_1 f(\alpha, \beta_1) + k_2 f(\alpha, \beta_2)$

则称 $f$ 是 $V$ 上的一个双线性函数。

2. 度量矩阵（Gram 矩阵）与合同变换（定理 1）#

矩阵表示：在给定基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 下，若 $\alpha, \beta$ 的坐标分别为 $X, Y$ ，则双线性函数可写为： $f(\alpha, \beta) = X^T A Y$ where $A = (f(\alpha_i, \alpha_j))_{n \times n}$ 称为 $f$ 在该基下的度量矩阵。
基变换公式：若从旧基到新基的过渡矩阵为 $P$ ，旧、新基下的度量矩阵分别为 $A, B$ ，则有： $B = P^T A P$ 这表明：双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同（Congruent）的。其合同矩阵的秩称为双线性函数 $f$ 的秩，记作 $\operatorname{rank} f$ 。

二、退化与非退化、对称与斜对称#

根（Radical）子空间（Definition 2）：
- 左根： $\operatorname{rad}_L V = \{ \alpha \in V \mid f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in V \}$
- 右根： $\operatorname{rad}_R V = \{ \beta \in V \mid f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in V \}$
非退化（Non-degenerate, Definition 3）：若 $f$ $f$ 的左根与右根都仅含零向量 $\{\mathbf{0}\}$ ${0}$ ，则称 $f$ $f$ 是非退化的。
- 判定定理（定理 2）： $f$ 是非退化的 $\iff$ 其度量矩阵 $A$ 满秩（即 $\operatorname{rank}(A) = n$ ）。此时左根等于右根且均为 $\{\mathbf{0}\}$ 。
对称与斜对称（Definition 4）：
- 对称： $f(\alpha, \beta) = f(\beta, \alpha) \iff$ 度量矩阵 $A$ 是对称矩阵。
- 斜/反对称： $f(\alpha, \beta) = -f(\beta, \alpha) \iff$ 度量矩阵 $A$ 是斜对称矩阵。

三、对角化与标准形定理（定理 4, 5）#

设域 $F$ 的特征不为 2（ $\operatorname{char} F \neq 2$ ）：

对称双线性函数的对角化（定理 4）：在有限维线性空间 $V$ 中，必存在一组基，使对称双线性函数 $f$ 的度量矩阵为对角矩阵。
斜对称双线性函数的标准形（定理 5）：在有限维空间 $V$ $V$ 中，必存在一组基，使斜对称双线性函数 $f$ $f$ 的度量矩阵具有如下分块对角形式： $\operatorname{diag}\left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, 0, \dots, 0 \right\}$ $diag {(0 - 1 10), \dots, (0 - 1 10), 0, \dots, 0}$
- 重要推论：非退化斜对称双线性函数对应的空间维数 $n$ 必然是偶数。

第二部分：§2 欧几里得空间（Euclidean Space）#

一、核心定义与度量基本概念#

1. 欧几里得空间的定义（Definition 1 & 2）#

内积（Inner Product）：实数域 $\mathbb{R}$ 上的一个对称、正定的双线性函数称为内积，记作 $(\alpha, \beta)$ 。其正定性指： $(\alpha, \alpha) \ge 0, \quad \text{且 } (\alpha, \alpha) = 0 \iff \alpha = \mathbf{0}$
欧氏空间：装备了内积的有限维实线性空间。

2. 长度、夹角与正交#

长度/范数（Definition 3）： $|\alpha| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}$ 。
柯西-布尼亚科夫斯基（Cauchy-Schwarz）不等式（定理 2）： $|(\alpha, \beta)| \le |\alpha| |\beta|$ 等号成立当且仅当 $\alpha, \beta$ 线性相关。
夹角（Definition 4）： $\cos \langle \alpha, \beta \rangle = \frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha| |\beta|}$ ，其中 $0 \le \langle \alpha, \beta \rangle \le \pi$ 。
正交（Definition 5）：若 $(\alpha, \beta) = 0$ $(α, β) = 0$ ，则称 $\alpha$ $α$ 与 $\beta$ $β$ 正交，记作 $\alpha \perp \beta$ $α ⊥ β$ 。
- 勾股定理（推论 4）：若 $\alpha \perp \beta$ ，则 $|\alpha + \beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2$ 。

二、标准正交基与同构#

标准正交基（Orthonormal Basis）：满足 $(\eta_i, \eta_j) = \delta_{ij}$ 的基。
施密特（Gram-Schmidt）正交化（定理 6）：任何线性无关的向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 都可以通过以下递推公式转化为等价的正交向量组 $\beta_1, \dots, \beta_r$ ： $\beta_k = \alpha_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k, \beta_j)}{(\beta_j, \beta_j)} \beta_j$ 进而单位化后得到标准正交基。
过渡矩阵与正交矩阵（命题 7）：欧氏空间中两组标准正交基之间的过渡矩阵 $P$ 必定是正交矩阵（即 $P^T P = I$ ）。
欧氏空间的同构（定理 9）：两个有限维欧氏空间同构（保持内积的双射） $\iff$ 它们的维数相同。任意 $n$ 维欧氏空间都与携带标准内积的 $\mathbb{R}^n$ 同构。

第三部分：§3 正交补与正交投影#

一、正交补（Orthogonal Complement, Definition 1）#

设 $S$ 是欧氏空间 $V$ 的子集，定义 $S$ 的正交补为： $S^\perp = \{ \alpha \in V \mid (\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in S \}$

基本定理（定理 1）：若 $U$ 是 $V$ 的有限维子空间，则整个空间可以唯一分解为直和形式： $V = U \oplus U^\perp$

二、正交投影与最佳逼近（定理 2 & Definition 2）#

根据分解 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$ （ $\alpha_1 \in U, \alpha_2 \in U^\perp$ ），称 $\alpha_1$ 为 $\alpha$ 在 $U$ 上的正交投影，记作 $P_U(\alpha)$ 。

最佳逼近定理：正交投影 $\alpha_1$ 是子空间 $U$ 中距离 $\alpha$ 最近的唯一向量，即： $d(\alpha, \alpha_1) \le d(\alpha, \gamma), \quad \forall \gamma \in U$ 等号成立当且仅当 $\gamma = \alpha_1$ 。

三、实际应用：最小二乘法（Least Squares）#

不相容线性方程组 $AX = \beta$ 的最小二乘解，其本质是寻找 $X$ 使得偏差平方和 $|AX - \beta|^2$ 达到最小。
几何投影原理表明， $AX$ 必须是 $\beta$ 在 $A$ 的列空间 $U$ 上的正交投影，从而导出法方程组（Normal Equations）： $A^T A X = A^T \beta$ 该方程组必有解，解之即可得到最小二乘解。

第四部分：§4 正交变换与对称变换#

一、正交变换（Orthogonal Operator, Definition 1）#

若线性变换 $A: V \to V$ 保持向量内积不变，即： $(A\alpha, A\beta) = (\alpha, \beta), \quad \forall \alpha, \beta \in V$ 则称 $A$ 是正交变换。

等价判定（命题 4）：
- $A$ 保持向量长度不变（即 $|A\alpha| = |\alpha|$ ）；
- $A$ 将标准正交基映射为标准正交基；
- $A$ 在标准正交基下的表示矩阵是正交矩阵。

二、对称变换（Symmetric/Self-adjoint Operator, Definition 2）#

若线性变换 $A$ 满足： $(A\alpha, \beta) = (\alpha, A\beta), \quad \forall \alpha, \beta \in V$ 则称 $A$ 是对称变换。

等价判定（命题 6）： $A$ 在标准正交基下的表示矩阵是对称矩阵。
谱定理（定理 8）： $A$ 是对称变换 $\iff$ $V$ 中存在一个完全由 $A$ 的特征向量构成的标准正交基（在此基下 $A$ 的变换矩阵是对角矩阵）。

课后习题重要拓展性质#

1. 习题 10.3 结论（Page 184-185）#

双重正交补定理（题 3）：若 $U$ 是有限维实内积空间的子空间，则： $(U^\perp)^\perp = U$
正交投影的自伴性（题 7）：若 $P$ 是正交投影算子，则其在内积下满足对称性： $(P\alpha, \beta) = (\alpha, P\beta), \quad \forall \alpha, \beta \in V$
贝塞尔（Bessel）不等式（题 8）：设 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m$ 是 $V$ 中的正交单位向量组。对于任意 $\alpha \in V$ ，有： $\sum_{i=1}^m (\alpha, \varepsilon_i)^2 \le |\alpha|^2$ 等号成立当且仅当该向量组为标准正交基。