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工科数学分析-4.9
若为常数，为常数 一般的$$ T(t)=\frac{\dot{r}(t)}{|\dot{r}(t)|},B(t)=\frac{\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)}{|\dot{r}(t)\times\ddot{r}(t)|},N(t)=B(t)\times T(t)
例7.5 铁路弯道的缓和曲线 质点沿着曲线运动时，离心力$F=\frac{mv^2}{R}=mv^2\kappa$ $$F_0=0,F_A=\frac{mv^2}{R}$$ 设弧$OA$的方程为$y=\frac{x^3}{q}$,其中$q$待定 则$A$处的曲率为\kappa_{A}=\frac{|y”|}{(1+(y’)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{6x_0}{q}(1+(\frac{3x_0^2}{q})^2)^{-\frac{3}{2}}
当$x_0\approx l$且$\frac{l^2}{q}\approx 0$时，$\kappa_A\approx \frac{6l}{q}=\frac{1}{R}$，取$q=6Rl$ 5.7.3 挠率 曲率$\kappa=\|r''(s)\|:$曲线在密切平面内的弯曲 $\kappa=\|T'(S)\|:$切方向转动的快慢 求$B'(s):$因为$\|B(s)\|=1,B(s)\cdot B(s)=1$ 对$s$求导，$B'(s)\cdot B(s)=0,B'(s)\perp B(s)$ 由$B(s)=T(s)\times N(s)$，对$s$求导 $B'=T'\times N+T\times N'=T\times N'$ 所以$B'\perp T$ 于是$B'//B\times T$ 设$B'=-\tau N$ 定义7.2 （挠率） 称$$\tau(s)=-B'(s)\cdot N(s)=B(s)\cdot N'(s)$$ 为曲线$r=r(s)$在$r(s)$处的**挠率**,下面证明 $$\tau(s)=\frac{[r'(s),r''(s),r'''(s)]}{\|r''(s)\|^2}(7.21)$$ 因为$N(s)=\frac{r''(s)}{\|r''(s)\|}$,所以 $$N'=\frac{r'''(s)}{\|r'''(s)\|}+r''(s)\cdot \frac{d}{ds}\frac{1}{\|r''(s)\|}$$ 于是$$\tau(s)=\frac{[r'(s),r''(s),r'''(s)]}{\|r''(s)\|^2}$$ 对一般参数式曲线$r=r(t)$ $$\tau(t)=\frac{[\dot{r}(t),\ddot{r}(t),\dddot{r}(t)]}{\|\dot{r}(t)\times \ddot{r}(t)\|}$$ 例7.8