引理：等价的实二次型有相同的正定性#

Proof:用$X=CY$带入即可
定理：实二次型$f(X)=X^{T}AX$为正定二次型的充要条件是实对称矩阵$A$的特征值全为正数
例
实二次型$f(x,y)=2x^{2}+y^{2}$正定
实二次型$f(x,y)=2x^{2}-y^{2}$不定
$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}$半正定
$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}$不定
规范性的正定性
正定$\iff p=n$
负定$\iff q=n$
半正定$\iff q=0$
半负定$\iff p=0$
不定$\iff pq>0$

定理：$n$元实二次型$f=X^{T}AX$正定$\iff f$的正惯性质数$=n$#

定理：$n$及实对称矩阵$A$正定$\iff A$的正惯性指数$=n$#

$X^{T}AX$正定$\iff A=C^{T}C,C$实可逆，$|A|=|C^{T}||C|>0$
$X^{T}AX=X^{T}C^{T}CX=(CX)^{T}(CX)=||CX||_{2}>0,CX\neq0$
$A$正定
$\iff p=n$
$\iff A$合同标准型对角元$>0$
$\iff A$的特征值$>0$
$\iff A=C^{T}C,C$可逆
顺序主子式

为$A$的顺序主子式

定理：实对阵矩阵$A$正定$\iff A$的顺序主子式$>0$，用成对的行列变换证明#

$Choleshy$分解：#

实对称矩阵$A$正定
$\iff A=E^{T}DE,E$为对角元为$1$的上三角阵
$\iff A=L^{T}L,L$为对角元大于零的上三角阵

例：$A=[a_{ij}]$是$n$级正定矩阵，证明$\prod_{i=1}^{n}a_{ii}\geq|A|$#

用$Choleshy$分解可直接证明
推论：若$C=[\alpha_{1}\alpha_{2}...\alpha_{n}]$是$n$级实矩阵，则$|\alpha_{1}||\alpha_{2}|...|\alpha_{n}|\ge|C|$
直接计算$A=C^{T}C$然后应用上述结论
注：实对称矩阵$A$是半正定是$A$的$n$个顺序主子式$\ge0$的充分不必要条件
反例，$diag\{1,0,-1\}$

定理：$n$元实二次型$X^{T}AX$半正定#

$\iff$规范性$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+...+y_{r}^{2}$
$\iff$标准型$n$个系数非负
$\iff p=r$
$\iff A$规范合同于$\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}$

例 实对称矩阵$A$负定#

$\iff$奇数阶顺序主子式$<0$，偶数阶顺序主子式$>0$，判断$-A$的正定性即可

例：当$t$为何值时以下为二次型正定#

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2tx_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$

$A_{1}>0,A_{2}>0(2-t^{2}>0),A_{3}>0(5-3t^{2}>0)$
则$t\in(-\frac{\sqrt{15}}{3},\frac{\sqrt{15}}{3})$
多元函数极值点的判定
$f(x_{1},...,x_{n})$有二阶连续偏导数，若$f$在$\alpha$处的一阶偏导数都为$0$,称$\alpha$为$f$的一个驻点， 称实对称矩阵$H=|f''_{ij}(\alpha)|$为$f$在驻点$\alpha$处的$Hessian$矩阵
$f(X)=f(\alpha)+\frac{1}{2}(X-\alpha)^{T}H(X-\alpha)+o(\rho^{2}),\rho=||X-\alpha||$
若$H$正定，$(X-\alpha)^{T}H(X-\alpha)\ge\lambda_{min}||X-\alpha||^{2}$
当$\rho$足够小，有$f(X)>f(\alpha)$
$H$的特征值全正为极小值点，全为负为极大值点
$H$正定，极小值
$H$负定，极大值
$H$不定，鞍点
半正定、半负定，需要进一步分析

例：$n$元实二次型$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$正定，它的$n$个平方项系数为正#

只要判断$A$的对角元是不是都是正的，$A=C^{T}C$
反之不对。