工科数学分析-3.30

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工科数学分析-3.30

2026-03-30

数学

方法一：#

曲线
$\Gamma:r(t)=(x(t),y(t),z(t))$
切向量
$r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))$
过 $P_0$ 且垂直于 $r'(t_0)$ 的平面称为 $\Gamma$ 在 $P_0$ 的法平面
$x'(t_{0})(x-x_0)+y'(t_{0})(y-y_0)+z'(t_{0})(z-z_0)=0$
曲线 $\Gamma$ 是两个曲面的交线，方程为
$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0(*)$
设 $(*)$ 在点 $p_0(x_0,y_0,z_0)$ 满足隐函数组定理的条件，其中，
$J(P_0)=\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}|_{P_0}\neq0$
则 $(*)$ 在 $P_0$ 附近唯一确定隐函数组 $x=x(z),y=y(z)$ ，且

\begin{align} \begin{cases} F_xdx+F_ydy=-F_zdz\\ G_xdx+G_ydy=-G_zdz\\ \end{cases}\\ \end{align}

解出

\begin{align} \frac{dx}{dz}&=\frac{1}{J} \begin{vmatrix} -F_z&F_y\\ -G_z&G_y\\ \end{vmatrix} &=\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\\ \frac{dy}{dz}&=\frac{1}{J} \begin{vmatrix} F_x&-F_z\\ G_x&-G_z\\ \end{vmatrix} &=\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\\ \end{align}

曲线 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 附近有参数表示 $r(z)=(x(z),y(z),z),r'(z)=(x'(z),y'(z),1)$
过点 $P_0$ 的切线方程为
$\frac{x-x_0}{\frac{dx}{dz}(z_0)}=\frac{y-y_0}{\frac{dy}{dz}(z_0)}=\frac{z-z_0}{1}$
即
$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$
其中 $A=\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}|_{P_0},B=\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}|_{P_0},C=\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}|_{P_0}$
法平面方程 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

方法二：#

曲面 $S_1:F(x,y,z)=0$
曲面 $S_2:G(x,y,z)=0$
$\Gamma=S_1\cap S_2$
对上述两式子微分得

\begin{align} \begin{cases} F_xdx+F_ydy+F_zdz=0=\nabla F\cdot dr,\nabla F\perp dr\\ G_xdx+G_ydy+G_zdz=0\nabla G\cdot dr,\nabla G\perp dr\\ \end{cases}\\ \end{align}

于是切向量

\begin{align} dr//\nabla F\times \nabla G= \begin{vmatrix} i&j&k\\ F_x&F_y&F_z\\ G_x&G_y&G_z\\ \end{vmatrix} =(A,B,C) \end{align}

例6.2#

求曲线

\begin{align} \begin{cases} 2x^2+y^2+z^2=45\\ x^2+2y^2=z \end{cases} \end{align}

在点 $P_0(-2,1,6)$ 处的切线与法平面
解：

\begin{align} \nabla F(P_0)&=(4x,2y,2z)|_{P_0}=(-8,2,12)\\ \nabla G(P_0)&=(2x,4y,-1)|_{P_0}=(-4,4,-1)\\ \end{align}

所以切向量

\begin{align} dr//\nabla F(P_0)\times \nabla G(P_0)= \begin{vmatrix} i&j&k\\ -8&2&12\\ -4&4&-1\\ \end{vmatrix} =(-50,-56,-24) \end{align}

切线方程
$\frac{x+2}{25}=\frac{y-1}{28}=\frac{z-6}{12}$
法平面方程为
$25(x+2)+28(y-1)+12(z-6)=0$
即 $25x+28y+12z-50=0$

5.6.2弧长#

1.定义与计算#

定义6.1（弧长）#

设简单曲线 $\Gamma=$ 弧 $AB$ 的参数方程为
$r(t)=(x(t),y(t),z(t)),\alpha\le t\le\beta$
其中 $A=r(\alpha),B=r(\beta)$ ，在 $\Gamma$ 上从 $A$ 到 $B$ 引入分点
折现长度为 $s_{n}=\sum_{i=1}^{n}||P_{i-1},P_i||$
称 $T=\{P_{i}\}$ 为曲线 $\Gamma$ 的一个分割， $d=\max_{1\le i\le n}||P_{i-1}P_i||$ 称为细度
若对任何分割，和式极限
$\lim_{d\to0}s_{n}=\lim_{d\to 0}\sum_{i=1}^{n}||P_{i-1}P_i||=s$
存在，且与分割 $T$ 的选取无关，则称上述极限值 $s$ 为曲线 $\Gamma$ 的弧长
此时称 $\Gamma$ 是可求长曲线
注：某些分形为不可求长曲线

定理6.1#

设在 $[\alpha,\beta]$ 上 $r'(t)$ 连续且 $r'(t)\neq0$ ，则曲线 $r=r(t)$ 是可求长曲线，且长度为
$s=\int_{\alpha}^{\beta}||r'(t)||dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dt$

proof#

对 $1\le i\le n$ ，设 $P_i=r(t_i)$
$||P_{i-1}P_i||^{2}=(x(t_{i})-x(t_{i-1}))^{2}+(y(t_{i})-y(t_{i-1}))^{2}+(z(t_{i})-z(t_{i-1}))^{2}$
依条件，由拉格朗日中值定理，分别存在 $\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$ ,使得

\begin{align} x(t_i)-x(t_{i-1})=x'(\xi_{i})\Delta t_{i}\\ y(t_i)-y(t_{i-1})=y'(\eta_{i})\Delta t_{i}\\ z(t_i)-z(t_{i-1})=z'(\zeta_{i})\Delta t_{i}\\ \end{align}

于是 $||P_{i-1}P_i||=\sqrt{x'(\xi_{i})^{2}+y'(\eta_{i})^{2}+z'(\zeta_{i})^{2}}\Delta t_{i}$

\begin{align} s_{n}&=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x'(\xi_{i})^{2}+y'(\eta_{i})^{2}+z'(\zeta_{i})^{2}}\Delta t_{i}\\ &=\sum_{i=1}^{n}||r'(\tau_{i})||\Delta t_{i}+\sigma,\tau_i\in(t_{i-1},t_i)\\ \sigma&=\sum_{i=1}^{n}(\sqrt{x'(\xi_{i})^{2}+y'(\eta_{i})^{2}+z'(\zeta_{i})^{2}}-\sqrt{x'(\tau_{i})^{2}+y'(\tau_{i})^{2}+z'(\tau_{i})^{2}})\Delta t_{i}\\ &\le\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(x'(\xi_{i})-x'(\tau_{i}))^{2}+(y'(\eta_{i})-y'(\tau_{i}))^{2}+(z'(\zeta_{i})-z'(\tau_{i}))^{2}}\Delta t_{i} \end{align}

下面证明 $\lim_{d\to0}\sigma=0$
以为 $r'(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续，且 $r'(t)\neq0$ ，所以存在常数 $m>0$ ，使
$\sqrt{x'(\xi_{i})^{2}+y'(\eta_{i})^{2}+z'(\zeta_{i})^{2}}\ge m,||P_{i-1}P_{i}||\ge m\Delta t_{i}$
令 $\Delta t=\max_{1\le i\le n}\Delta t_{t}$ ,则 $\Delta T\le \frac{d}{m}$ ,当 $d\to 0$ 时， $\Delta t\to 0$
$\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i},\tau_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
依条件中 $x'(t),y'(t),z'(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续，从而一致连续
对任何 $\varepsilon>0$ ,存在 $\delta>0$ ，当 $t,t'\in[\alpha,\beta]$ 且 $|t-t'|<\delta$ 时
有 $|x'(t)-x'(t')|<\varepsilon,|y'(t)-y'(t')|<\varepsilon,|z'(t)-z'(t')|<\varepsilon$
当 $d<m\delta$ 时， $\Delta t<\frac{d}{m}<\delta$ ，此时 $\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i},\tau_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
所以 $\sigma\le\sum_{i=1}^{n}\sqrt{3\varepsilon^{2}}\Delta t_{i}=\sqrt{3}\varepsilon\sum_{i=1}^{n}\Delta t_{i}=\sqrt{3}\varepsilon(\beta-\alpha)$
因此

\begin{align} \lim_{d\to 0}s_{n}&=\lim_{d\to0}\sum_{i=1}^{n}||r'(\tau_{i})||\Delta t_{i}+0,\tau_i\in(t_{i-1},t_i)\\ &=\lim_{\Delta t\to0}\sum_{i=1}^{n}||r'(\tau_{i})||\Delta t_{i}\\ &=\int_{\alpha}^{\beta}||r'(t)||dt \end{align}

2.弧微分与自然参数#

因为 $ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$ ，所以用弧长 $s$ 做参数时，
$\frac{dr}{ds}=(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds})$
是单位切向量，设它与 $x,y,z$ 舟正方向的夹角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$ 则

\frac{dr}{ds}=(\cos{\alpha},\cos\beta,\cos\gamma)

$dx=\cos{\alpha}ds,dy=\cos{\beta}ds,dz=\cos{\gamma}ds$

例6.5#

求螺旋新 $x=a\cos\theta,y=a\sin\theta,z=k\theta$ ，一个螺距之间的长度
解：
$r'(\theta)=(-a\sin\theta,a\cos\theta,k)$
$||r'(\theta)||=\sqrt{a^{2}+k^2}$
$s=\int_{0}^{2\pi}||r'(\theta)||d\theta=2\pi\sqrt{a^{2}+k^{2}}$

5.6.3 曲面的切平面与法线#

1.曲线的参数方程#

球面的参数方程设 $P(x,y,z)$ 为球面一点，他在 $xOy$ 平面内的投影为 $M(x,y,0)$
则
$z=\pm||PM||=||OP||\cos\varphi,x=||OM||\cos\theta,y=||OM||\sin\theta,||OM||=||OP||\sin\varphi$
所以
$z=R\cos\varphi,x=R\sin\varphi\cos\theta,y=R\sin\varphi\sin\theta$
其中 $0\le\varphi\le\pi,0\le\theta\le2\pi$
一般地，曲面 $S$ 的参数方程
$r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in \triangle,r:\triangle\subset R^2\to R^3$

2.曲面上的曲线表示#

在曲面 $S$ 上，考虑两类曲面
$(1)v=v_0$ ，称为 $u$ 曲线
$(2)u=u_0$ ，称为 $v$ 曲线
他们的切向量分别为
$r_{u}=(x_u,y_u,z_u)$
$r_v=(x_v.y_v,z_v)$

3.曲面的切平面与法线#

设曲面 $S$ 的参数方程为
$r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in \triangle,r:\triangle\subset R^2\to R^3$
其中 $r(u,v)$ 在 $\triangle$ 上连续，在点 $(u_0,v_0)\in\triangle$ 处可微，过曲面 $S$ 上任意一点 $r_0=r(u_0,v_0)$ 的任意光滑曲线 $\Gamma$ 的参数方程为
$r(t)=r(u(t),v(t)),t\in I$
其中 $u(t_0)=u_0,v(t_0)=v_0$ 在上式中对 $t$ 求导得
$r'(t_0)=r_{u}(u_0,v_0)u'(t_0)+r_{v}(u_0,v_0)v'(t_0)$
右端是切向量 $r_{u}(u_0,v_0)$ 与 $r_{v}(u_0,v_0)$ 的线性组合
若 $r_u\times r_v|_{u_0,v_0}\neq0$ ，说明 $r_u(u_0,v_0)$ 与 $r_v(u_0,v_0)$ 不共线
从而可张成一个平面 $\Pi$ ，称之为曲面 $S$ 在正则点 $r_0$ 的切平面
他的法向量为

\begin{align} r_u\times r_v= \begin{vmatrix} i&j&k\\ x_u&y_z&z_u\\ x_v&y_v&z_v\\ \end{vmatrix} =(A,B,C) \end{align}

其中
$A=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|_{(u_0,v_0)},B=\frac{\partial(y,z)}{\partial(uz,x)}|_{(u_0,v_0)},C=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|_{(u_0,v_0)}$
法平面方程为
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
法线方程为
$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$
若 $r_u-(x_u,y_u,x_u),r_v=(x_v,y_v,z_v)$ 在 $\triangle$ 内连续，则称曲线 $S$ 为光滑曲线
对曲面 $F(x,y,z)=0$ ，设在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处满足一函数定理中的条件， $F_z(P_0)\neq0$
隐函数 $z=z(z,y)$
曲面 $S:r(x,y)=(x,y,z(x,y))$
$r_x=(1,0,z_x)=(1,0,-\frac{F_x}{F_z}),r_y=(0,1,z_y)=(0,1,-\frac{F_y}{F_z})$

\begin{align} r_x\times r_y= \begin{vmatrix} i&j&k\\ 1&0&-\frac{F_x}{F_z}\\ 0&1&-\frac{F_y}{F_z}\\ \end{vmatrix} =(\frac{F_x}{F_z},\frac{F_y}{F_z},1) \end{align}

法向量 $\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)=\nabla F$
切平面的方程
$F_{x}(P_0)(x-x_0)+F_{y}(P_0)(y-y_0)+F_{z}(P_0)(z-z_0)=0$
法线方程
$\frac{x-x_0}{F_{x}(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_{y}(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_{z}(P_0)}$

例6.8#

求曲面 $x=u\cos v,y=u\sin v,z=av$ 在 $u=\sqrt{2},v=\frac{\pi}{4}$ 处的切平面与法线方程
解：
$r=(u\cos v,u\sin v,av)$
$r_u=(\cos v,\sin v,0)\to r_u=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$
$r_v=(-u\sin v,u\cos v,a)\to r_v=(-1,1,a)$