工科数学分析-3.16

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工科数学分析-3.16

2026-03-16

数学

5.3.5 高阶偏导数和高阶全微分#

1.高阶偏导数#

$z=f(x,y)$
$\frac{\partial z}{\partial x}=f_{x}(x,y)$
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{\partial x^{2}}=f_{xx}(x,y)=f_{11}$
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)=f_{12}$
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{\partial y^{2}}=f_{yy}(x,y)=f_{22}$
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)=f_{21}$

Ex.12 计算 $z=e^{x+2y}$ 的所有二阶偏导数#

$z_{x}=e^{x+2y},z_{y}=2e^{x+2y}$
$z_{xx}=e^{x+2y}$
$z_{xy}=2e^{x+2y}$
$z_{yx}=2e^{x+2y}$
$z_{yy}=4e^{x+2y}$

Ex.13 计算 $z=arctan(\frac{y}{x})$ 所有的二阶偏导数#

$z_{x}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^{2}}(-\frac{y}{x^{2}})=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},z_{y}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^{2}}(\frac{1}{x})=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$
$z_{xx}=-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$z_{xy}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$z_{yx}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$z_{yy}=-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

问： $z_{xy}=z_{yx}?$ #

反例：

f(x,y)= \begin{cases} &xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-y^{2}}&,x^{2}+y^{2}\neq 0\\ &0&,x^{2}+y^{2}=0 \end{cases}

f_{x}(x,y) \begin{cases} &\frac{y(x^{4}-y^{4}+4x^{2}y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}&,x^{2}+y^{2}\neq0\\ &0&,x^{2}+y^{2}=0 \end{cases}

f_{x}(x,y) \begin{cases} &\frac{x(x^{4}-y^{4}+4x^{2}y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}&,x^{2}+y^{2}\neq0\\ &0&,x^{2}+y^{2}=0 \end{cases}

$f_{xy}(0,0)=-1,f_{yx}(0,0)=1$
若 $f_{xy},f_{yx}$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 处连续，则 $f_{xy}(x_{0},y_{0})=f_{yx}(x_{0},y_{0})$

Ex.14 $z=xf(2x,\frac{y^{2}}{x})$ ,满足 $f(u,v)$ 二阶偏导数连续，求 $z_{xy}$ #

Method 1:#

$z_{x}=f+x(2f_{1}+f_{2}(-\frac{y^{2}}{x}))=f+2xf_{1}-\frac{y^{2}}{x}f_{2}$
$x_{xy}=f_{2}\frac{2y}{x}+2xf_{12}\frac{2y}{x}-\frac{2y}{x}f_{2}-\frac{y^{2}}{x}f_{22}\frac{2y}{x}=4yf_{12}-\frac{2y^{3}}{x^{2}}f_{22}$

Method 2：#

$z_{y}=xf_{2}\frac{2y}{x}=2yf_{2}$
$z_{yx}=2y(2f_{21}+f_{22}(-\frac{y^{2}}{x^{2}})=4yf_{21}-\frac{2y^{3}}{x^{2}}f_{22}$

2.高阶全微分#

设 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数都连续，则
$dz=z_{x}dx+z_{y}dy$
其中，自变量 $x,y$ 与它们的微分 $dx,dx$ 是互相独立的（从右边来看，变量有四个）
固定 $dx,dy$ ，将 $dz$ 作为 $x,y$ 的函数，定义二阶微分
$d^{2}z=d(dz)$
对自变量 $x,y$ 来说，有 $d(dx)=d(dy)=0$ ，此时

\begin{align} d^{2}z &=d(z_{x}dx+z_{y}dy)\\ &=d(z_{x})dx+d(z_{y})dy\\ &=(z_{xx}dx+z_{xy}dy)dx+(z_{yx}dx+z_{yy}dy)dy\\ &=z_{xx}(dx)^{2}+2z_{xy}dxdy+z_{yy}(dy)^{2} \end{align}

5.3.6由一个方程确定隐函数的微分法#

设 $F(x,y)=0$ ，隐函数存在条件的分析
其一，存在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ ,使得 $F(x_{0},y_{0})=0$ ，集合 $\Gamma={(x,y)\in R^{2}|F(x,y)=0}$ 非空，它是曲面 $z=F(x,y)$ 与平面 $z=0$ 的交线
令 $\Phi(x,y,z)=F(x,y)-z$ ，则梯度 $\nabla\Phi=(F_{x},F_{y},-1)$ 与等值面 $\Phi=0$ 正交，设光滑曲线 $\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 是曲面 $z=F(x,y)$ 上过点 $Q_{0}(x_{0},y_{0},0)$ ，由 $\Phi(x(t),y(t),z(t))\equiv 0$ ，得
$0\equiv \Phi_{x}\frac{dx}{dt}+\Phi_{y}\frac{dy}{dt}+\Phi_{z}\frac{dz}{dt}=\nabla\Phi\frac{d\gamma}{dt}$
切向量 $\frac{d\gamma}{dt}\perp \nabla\Phi$ ,
过 $Q_{0}$ 且垂直于 $\nabla\Phi(Q_{0})$ 的平面称为曲面 $z=F(x,y)$ 在点 $Q_{0}$ 的切平面，他的方程为
$\nabla\Phi(Q_{0})\cdot(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=F_{x}(P_{0})(x-x_{0})+F_{y}(y-y_{0})-(z-z_{0})$
对 $Q_{0}(x_{0},y_{0},0)$ 有 $F_{x}(P_{0})(x-x_{0})+F_{y}(y-y_{0})-z=0$
其二， $\nabla F(P_{0})\neq (0,0)$ ,否则曲面 $z=F(x,y)$ 过点 $Q_{0}$ 的切平面为 $z=0$ ,此时曲面 $z=F(x,y)$ 与曲面 $z=0$ 相切于 $Q_{0}$ ，这可能导致交集 $\Gamma$ 是单点 $Q_{0}$ ，而不是一条曲线
其三，若要求新函数 $y=y(x)$ 可微，则 $F$ 可微时，由 $F(x,y(x))\equiv 0$ 以及链式法则
$F_{x}+F_{y}\frac{dy}{dx}=0$
若 $F_{y}(x_{0},y_{0})$ ，则 $\frac{dy}{dx}|_{x=x_{0}}=-\frac{F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}$

定理3.6（隐函数的存在唯一性，可微性）#

设
（i） $F(x,y)$ 在区域 $D$ 上联系， $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 为 $D$ 的内点
（ii） $F(x_{0},y_{0})=0$
（iii） $F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0$
（iv） $F_{y}(x,y)$ 在 $D$ 内连续
注：（iii）（iv）表明，存在某个领域 $U(P_{0})$ ，使得 $F_{y}|_{U(P_{0})}\neq 0$ ，不妨设 $F_{y}>0$
对某个固定的 $x$ ,若 $F(x,y)=0$ 且 $(x,y)\in U(p_{0})$ 则
在点 $P_{0}$ 的某个领域 $U(B)\subset D$ 内，方程 $F(x,y)=0$ 唯一确定一个函数， $y=f(x),x\in (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ ,使得，
1. $f(x_{0})=y_{0}$ ，当 $x\in (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ 时， $(x,f(x))\in U(P_{0}),F(x,f(x))=0$
2. $f(x)$ 在 $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ 上连续，若 $F_{x}(x,y)$ 也在 $D$ 内连续，则 $f(x)$ 可导且导数连续，且 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}$

Proof:#

只证明 $F_{x},F_{y}$ 在 $D$ 内都连续的情形
考虑初值问题， $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}$ ， $y(x_{0})=y_{0}$
因为 $-\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}$ 在 $P_{0}$ 附近连续，由ODE存在性定理，上述问题有解 $y=y(x)$ ，满足
$\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_{x}+F_{y}\frac{dy}{dx}=0$
说明 $F(x,y(x))=F(x_{0},y(x_{0}))=F(x_{0},y_{0})=0$
类似的，由三元方程 $F(x,y,z)=0$ 确定一个二元的隐函数， $z=f(x,y)$ ,可微，带入方程得
$F(x,y,f(x,y))\equiv0$
取微分
$F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=0$
当 $F_{z}\neq0$ 时， $dz=-\frac{F_{x}}{F_{z}}dx-\frac{F_{y}}{F_{z}}dy$

例3.25 设方程 $e^{z}+xyz=e$ 确定的函数 $z=z(x,y)$ ，求 $z_{x},z_{y},z_{xy}$ #

解：
对原方程取微分得，

\begin{align} 0&=d(e^{z})+d(zyz)\\ &=e^{z}dz+yzdx+xzdy+xydz \end{align}

$dz=-\frac{yzdx+xzdy}{e^{z}+xy}$
于是 $z_{x}=-\frac{yz}{e^{z}+xy}$
$z_{y}=-\frac{xz}{e^{z}+xy}$

\begin{align} z_{xy}&=-\frac{z+yz_{y}}{e^{z}+xy}+yz\frac{e^{z}z_{y}+x}{(e^{z}+xy)^{2}}\\ &=-\frac{z}{e^{z}+xy}-\frac{y}{e^{z}+xy}\frac{-xz}{e^{z}+xy}+\frac{yze^{z}}{e^{z}+xy}\frac{-xz}{e^{z}+xy}+\frac{xyz}{(e^{z}+xy)^{2}}\\ &=-\frac{z}{e^{z}+xy}+\frac{2xyz}{(e^{z}+xy)^{2}}-\frac{xyz^{2}e^{z}}{(e^{z}+xy)^{3}}\\ &=-\frac{ze^{2z}-x^{2}y^{2}z+xyz^{2}e^{z}}{(e^{z}+xy)^{3}} \end{align}

5.4多元函数的 $Taylor$ 公式与极值#

5.4.1 $Taylor$ 公式#

中值定理：#

设 $f(x,y)$ 在凸区域 $D\subset R^{2}$ 上可微，则对 $D$ 中任意两点 $(x_{0},y_{0}),(x_{0}+\Delta x,y+\Delta y)$ ，存在 $\theta\in(0,1)$ 使得
$f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)\Delta x+f_{y}(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)\Delta y$

Proof#

$\varphi(t)=f(x_{0}+t\Delta x)$ ，在 $[0,1]$ 上可微，用拉格朗日定理，存在 $\theta\in(0,1)$ ,有
$\varphi(1)-\varphi(0)=\varphi'(\theta)=f_{x}(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)\Delta x+f_{y}(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)\Delta y$

Ex.1#

设 $f(x,y)$ 的二阶偏导数连续，写出一元函数 $\Phi(t)=f(x_{0}+t\Delta x,y_{0}+t\Delta y)$ 在 $t=0$ 的二阶泰勒公式（ $Peano$ 余项）
解
$\Phi(t)=\Phi(0)+\Phi'(0)t+\frac{1}{2}\Phi''(0)(t^{2})+o(t^{2})$
其中 $\Phi'(t)=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y$

\begin{align} \Phi''(t)&=(f_{xx}\Delta x+f_{xy}\Delta y)\Delta x+(f_{yx}\Delta x+f_{yy}\Delta y)\Delta\\ &=f_{xx}(\Delta x)^{2}+f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}(\Delta y)^{2}\\ &=(\Delta x,\Delta y)\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}(\Delta x,\Delta y)^{T} \end{align}

令 $X_{0}=(x_{0},y_{0}),\Delta X=(\Delta x,\Delta y)$ ,则
$f(X_{0}+\Delta X)=f(X_{0})+\langle\nabla f(X_{0},\Delta X) \rangle+\frac{1}{2}\Delta X\cdot H_{f}(X_{0})\cdot(\Delta X)^{T}+o(||\Delta X||^{2})$
$Hesse$ 矩阵 $H_{f}(X_{0})=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}(X_{0})$
对自变量 $x,y$ 的一阶微分 $dx,dy$ 有 $dx=\Delta x,dy=\Delta y$
则有 $f(x_{0}+dx,y_{0}+dy)=f(x_{0},y_{0})+\frac{1}{2}d^{2}z+o((dx)^{2}+(dy)^{2})$

例4.1#

设 $z=z(z,y)$ 是由方程 $z^{3}-2xz+y=0$ 确定的隐函数且 $z(1,1)=1$ ，求 $z(x,y)$ 在 $(1,1)$ 处的二阶 $Taylor$ 公式（ $Peano$ 余项）
将 $(1,1)$ 带入有三个实根为 $1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Method 1#

两边取微分
$3z^{2}dz-2(zdx+xdz)+dy=0$
$dz=\frac{2zdx-dy}{3z^{2}-2x}$
$z_{x}=\frac{2z}{3z^{2}-2x}$
$z_{y}=\frac{-1}{3z^{2}-2x}$
$z(1,1)=1,z_{x}(1,1)=2,z_{y}(1,1)=-1$
$z_{xx}=\frac{-2(3z^{2}+2x)z_{x}}{(3z^{2}-2x)^{2}}$
$z_{xy}=\frac{-2(3z^{2}+2x)z_{y}}{(3z^{2}-2x)^{2}}$
$z_{xx}=\frac{6zz_{y}}{(3z^{2}-2x)^{2}}$

在 $(x,y,z)=(1,1,1)$ 时， $z_{xx}=-16,z_{xy}=10,z_{yy}=-6$ ，则
$z(1+x,1+y)=1+2x-y+\frac{1}{2}(-16x^{2}+10xy-6y^{2})+o(x^{2}+y^{2})$

Method 2#

两边取微分
$3z^{2}dz-2(zdx+xdz)+dy=0$
$(3z^{2}-2x)dz-2zdx+dy=0(*)$
由 $z(1,1)=1$ 的 $dz|_{(1,1,1)}=2dx-dy$
对 $(*)$ 取微分得，

\begin{align} 0&=d(3z^{2}-2x)dz+(3z^{2}-2x)d^{2}z-2dzdx\\ &=6z(dz)^{2}+(3z^{2}-2x)d^{2}z-4dzdx \end{align}

于是 $d^{2}z|_{(1,1,1)}=4dx(2dx-dy)-6(2dx-dy)^{2}=-16(dx)^{2}+20dxdy-6(dy)^{2}$

工科高等代数3.17

Graph

5.3.5 高阶偏导数和高阶全微分

5.3.6由一个方程确定隐函数的微分法

1

5.4多元函数的TaylorTaylorTaylor公式与极值

5.4.1 TaylorTaylorTaylor公式